Convergenza integrale improprio
ciao ragazzi
ho un problema con un integrale improprio $ int_(1)^(+oo ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $
devo discutere per quale a converge, allora lo divido in
$ int_(1)^(2 ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $ + $ int_(2)^(+oo ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $
per quanto riguarda l'intervallo (1,2) me la cavo con sostituzione e Taylor e mi viene che converge per a > 1/4
per quanto riguarda l'intervallo (2,+ $ oo $ ) mi blocco alla fine perchè mi viene asintotico a
$ int_(2)^(+oo ) (x^3)/((ln x)^a (x)^(4a)) $ = $ int_(2)^(+oo ) 1/((ln x)^a (x)^(4a-3)) $
a questo punto cosa faccio?, è giusto dire che il logaritmo converge per a > 1 e x per 4a-3 > 1 quindi converge per a > 1 ?
se fosse giusto avrei che $ int_(1)^(+oo ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $ converge per a > 1
ho un problema con un integrale improprio $ int_(1)^(+oo ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $
devo discutere per quale a converge, allora lo divido in
$ int_(1)^(2 ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $ + $ int_(2)^(+oo ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $
per quanto riguarda l'intervallo (1,2) me la cavo con sostituzione e Taylor e mi viene che converge per a > 1/4
per quanto riguarda l'intervallo (2,+ $ oo $ ) mi blocco alla fine perchè mi viene asintotico a
$ int_(2)^(+oo ) (x^3)/((ln x)^a (x)^(4a)) $ = $ int_(2)^(+oo ) 1/((ln x)^a (x)^(4a-3)) $
a questo punto cosa faccio?, è giusto dire che il logaritmo converge per a > 1 e x per 4a-3 > 1 quindi converge per a > 1 ?
se fosse giusto avrei che $ int_(1)^(+oo ) (x^3-x^2)/((ln x)^a (1+x)^(4a)) $ converge per a > 1
Risposte
non e' giusto perche' l'integrale lo devi studiare tutto insieme. Non lo puoi spezzare visto che e' un operatore lineare, ma NON moltiplicativo.
L'integrale che ti e' rimasto e' molto standard, anche se su due piedi non mi ricordo la soluzione. A occhio credo che comandi solo $x$ e quindi ti venga solo la condizione $4a-3>1$, ma non mi ricordo bene e puoi accertarti con una ricerca su google o riguardando i tuoi appunti delle lezioni, in cui probabilmente ce l'hai scritto da qualche parte.
L'integrale che ti e' rimasto e' molto standard, anche se su due piedi non mi ricordo la soluzione. A occhio credo che comandi solo $x$ e quindi ti venga solo la condizione $4a-3>1$, ma non mi ricordo bene e puoi accertarti con una ricerca su google o riguardando i tuoi appunti delle lezioni, in cui probabilmente ce l'hai scritto da qualche parte.
non voglio contraddire ciò che mi dici però un integrale lo posso scrivere come la somma di due integrali, c'è anche un teorema su questo che dice
$ int_(a)^(b) f(x) = int_(a)^(c) f(x) + int_(c)^(b) f(x) $ con a < c < b
inoltre il professore quando studia la convergenza li spezza e poi studia i due problemi
ora con questo non dico che hai torto, ma solo che il teorema esiste e tu dici la verità c'è qualcosa di mezzo che non mi torna
$ int_(a)^(b) f(x) = int_(a)^(c) f(x) + int_(c)^(b) f(x) $ con a < c < b
inoltre il professore quando studia la convergenza li spezza e poi studia i due problemi
ora con questo non dico che hai torto, ma solo che il teorema esiste e tu dici la verità c'è qualcosa di mezzo che non mi torna
mi riferivo a questo punto
in cui intrinsecamente usi la proprieta' $\int f(x)g(x)=\int f(x)\int g(x)$ che e' falsa.
"Dieselprogres":
è giusto dire che il logaritmo converge per a > 1 e x per 4a-3 > 1 quindi converge per a > 1 ?
in cui intrinsecamente usi la proprieta' $\int f(x)g(x)=\int f(x)\int g(x)$ che e' falsa.
aaah ok, ti chiedo scusa per averti contraddetto, non l'ho fatto per presunzione ma solo perchè non mi tornava e non avevo capito,
non ti preoccupare e non chiedere scusa!
anzi, capisco che senza un riferimento diretto, la mia affermazione era fraintendibile.
anzi, capisco che senza un riferimento diretto, la mia affermazione era fraintendibile.
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