Convergenza integrale improprio

[glenx]

Salve, è il primo post che scrivo su questo forum ma è da un po' che vi seguo, Purtroppo sono due giorni che mi trovo di fronte ad un problema che non riesco a risolvere:
Calcolare per quali a l'integrale improprio converge:

\[ \int_0^1 \frac{(e^{ax})*ln(1+x)-sinx}{x^3}\]




Per risolvere il problema ho pensato di utilizzare il criterio delle equivalenze asintotiche, facendo:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(e^{ax})*ln(1+x)-sinx}{x^3}\]

Ho provato a sviluppare McLaurin fino al secondo ordine per \(\ln(1+x)\) e \(sinx\); \(e^{ax}\) l'ho sviluppato fino al primo ordine vedendolo come \((e^x)^a\) ma comunque alla fine mi blocco.

Grazie anticipatamente
GlenX

[Flaviuz1]

Devi confrontare la funzione con un'altra il cui "comportamento" è noto... ad esempio $f(x)=1/x^n$

[glenx]

Confrontando la funzione con un \(x^n\) cercherei l'ordine di infinitesimo, che la funzione non ha in quanto devo vedere per quali \(a\) l'integrale converge.
Per valutare il comportamento di \(f(x)\) posso utilizzare una funzione \(g(x)\) che abbia un comportamento simile, di conseguenza utilizzo le stime asintotiche.
A denominatore ho \(x^3\) quindi devo fare in modo che il numeratore vada a 0 più veloce di \(x^3\).
Credo che l'errore sia nel "trovare" \(g(x)\) ma non riesco a capire perchè!

[Seneca1]

Dai un'occhiata qui.

[glenx]

Innanzitutto grazie per le risposte tempestive ! Il principio teorico su cui si basa lo svolgimento mi è chiaro, ma non riesco ad applicarlo praticamente. Nell'esercizio che mi hai postato si vede anche a occhio che l'integrale converge. La mia funzione è più complicata e non riesco a capire come muovermi!