Convergenza integrale improprio
ciao ragazzi, per studiare la convergenza di questo integrale indefinito:
$ int_(<0>)^(<+oo >) $ occorre studiare il limite a +infinito dell' integranda giusto? ecco il limite va ovviamente a zero con ordine 0 giusto? senx=1 x=1 : 1-1=0 posso trarre la conclusione che esso converge poiché l'ordine è minore di uno secondo criteri di convergenza? grazie 
$ int_(<0>)^(<+oo >)
Risposte
scusate mi sono reso conto d'aver commesso l'errore nel calcolo dell'ordine.. il mio problema è appunto calcolare l'ordine di infinitesimo per x che tende a più infinito della funzione per poter trarre conclusioni sulla convergenza o meno dell'integrale 
grazie
grazie
Ti faccio notare che l'integranda contempla sia valori positivi che negativi, la convergenza in generale va studiata in valore assoluto.
Tuttavia per questi casi, per questioni di simmetria ci si riporta studiare l'integrale come integrale improprio ponendo $\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_0^R \frac{sin(x)}{x}dx$.
La convergenza sussiste come integrale improprio.
Per darti un'idea, sapresti dire se la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n/n$ converge (puoi usare Liebniz)?
Il tuo problema è simile.
Tuttavia per questi casi, per questioni di simmetria ci si riporta studiare l'integrale come integrale improprio ponendo $\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_0^R \frac{sin(x)}{x}dx$.
La convergenza sussiste come integrale improprio.
Per darti un'idea, sapresti dire se la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n/n$ converge (puoi usare Liebniz)?
Il tuo problema è simile.
non conosco questo tipo di metodo per lo studio della convergenza, credevo che calcolando l'ordine di infinitesimo della funzione potessi trarre una conclusione diretta sulla convergenza o meno di essa.. ma il mio problema appunto era il calcolo dell'ordine.. grazie
Il tuo problema è che vai all'infinito come $\frac{1}{x}$ e quindi non convergi. Tuttavia data la natura della funzione $\frac{sin(x)}{x}$ ha senso studiare l'integrale improprio, usando il legame stretto tra serie e integrali è un buon metodo per studiare la convergenza.
Dovresti maggiorare il tuo integrale con la serie che ti proponevo, basta trovare un $\theta$ t.c. $\sin(n\theta)=(-1)^n$.
Dovresti maggiorare il tuo integrale con la serie che ti proponevo, basta trovare un $\theta$ t.c. $\sin(n\theta)=(-1)^n$.
In tutta sincerità, quello che hai tra le mani non è un integrale improprio dei più banali. E' un buon esempio di un integrale convergente ma non assolutamente convergente.
Dimostrare la convergenza è facile: in sostanza, integra per parti.
Per provare che non vi è convergenza assoluta, invece, bisogna lavorare un po' di più e procedere come suggerito da Andrea2976.
Dimostrare la convergenza è facile: in sostanza, integra per parti.
Per provare che non vi è convergenza assoluta, invece, bisogna lavorare un po' di più e procedere come suggerito da Andrea2976.
ok ci sono grazie mille diciamo che a noi basta sapere solamente se un integrale o una funzione integrale converge o diverge, difficilmente viene richiesto esplicitamente di dare il valore di tale convergenza; in tal caso si poteva procedere risolvendo l'integrale e calcolandone il limite successivamente =) grazie
diciamo che a noi basta sapere solamente se un integrale o una funzione integrale converge o diverge, difficilmente viene richiesto esplicitamente di dare il valore di tale convergenza; in tal caso si poteva procedere risolvendo l'integrale e calcolandone il limite successivamente =) grazie
Sì, lo immaginavo. Tra l'altro, non vorrei dire una fesseria, ma mi pare che $sinx/x$ non abbia una primitiva esprimibile mediante funzioni elementari. Comunque, se ti va, potresti postare il tuo svolgimento, potrebbe essere utile in futuro a qualche altro utente.
Per Paolo90: questo integrale se non ricordo male si risolve numericamente con il teorema dei residui, tuttavia come affermi tu non dovrebbe esistere una primitiva elementare.
grazie della disponibilità presto metterò il mio svolgimento sperando sia corretto =)
sperando sia corretto =)
"Andrea2976":
Per Paolo90: questo integrale se non ricordo male si risolve numericamente con il teorema dei residui, tuttavia come affermi tu non dovrebbe esistere una primitiva elementare.
Bene, grazie della conferma. Comunque, per calcolarne il valore esatto non credo sia necessaria l'Analisi Complessa (di cui, purtroppo, sono ancora digiuno). C'è una strada elementare, di cui - se volete - espongo i dettagli. L'idea è comunque quella di "complicarsi la vita", cercando un'espressione chiusa per $F(\lambda)= \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} sinx/x dx$ (o, meglio, per la sua derivata...).
una soluzione fattibile potrebbe essere per esempio utilizzare appunto il teorema del confronto come avevate già suggerito ovvero:
$ |sin x| /x < 1/x $
$ int_(0)^(+oo ) 1/x = int_(0)^(1)1/x + int_(1)^(+oo ) 1/x $
converge sicuramente ed allora essendo $ int_(0)^(+oo ) (sen x)/x < int_(0)^(+oo ) 1/x $ allora esso dovrebbe essere convergente
$ |sin x| /x < 1/x $
$ int_(0)^(+oo ) 1/x = int_(0)^(1)1/x + int_(1)^(+oo ) 1/x $
converge sicuramente ed allora essendo $ int_(0)^(+oo ) (sen x)/x < int_(0)^(+oo ) 1/x $ allora esso dovrebbe essere convergente
"lucagenova":
una soluzione fattibile potrebbe essere per esempio utilizzare appunto il teorema del confronto come avevate già suggerito ovvero:
$ |sin x| /x < 1/x $
$ int_(0)^(+oo ) 1/x = int_(0)^(1)1/x + int_(1)^(+oo ) 1/x $
converge sicuramente ed allora essendo $ int_(0)^(+oo ) (sen x)/x < int_(0)^(+oo ) 1/x $ allora esso dovrebbe essere convergente
Mmmm, mi sa proprio di no. Sicuro che $int_(0)^(+oo ) 1/x \text{d}x$ converga? Conosci i risultati sull'integrazione impropria delle funzioni del tipo $1/x^{alpha}$?
$ int_(1)^(+oo ) 1/x^del $ converge se $ del >1 $ 
quindi hai ragione scusa la distrazione ma diverge in 1/x; allora il procedimento del confronto non è corretto poiché l'altro integrale (quello iniziale con il seno), (secondo un libro che ho a casa) dovrebbe convergere 
quindi hai ragione scusa la distrazione ma diverge in 1/x; allora il procedimento del confronto non è corretto poiché l'altro integrale (quello iniziale con il seno), (secondo un libro che ho a casa) dovrebbe convergere
Eh già, $int_1^\infty 1/x^alpha \text{d}x$ converge sse $alpha >1$.
No, non è che il procedimento del confronto "non è corretto"; semplicemente non ti dà informazioni utili (come diceva sempre il mio prof. di Analisi I, pensala in termini monetari: se sei più ricco di un ricco allora sei certamente ricco; ma se sei più povero di un ricco non si sa bene che cosa tu sia ).
L'idea è quella che ti ho scritto io prima: integra per parti e poi usa il confronto e il ben noto fatto che convergenza assoluta implica convergenza semplice.
"lucagenova":
allora il procedimento del confronto non è corretto poiché l'altro integrale (quello iniziale con il seno), (secondo un libro che ho a casa) dovrebbe convergere
No, non è che il procedimento del confronto "non è corretto"; semplicemente non ti dà informazioni utili (come diceva sempre il mio prof. di Analisi I, pensala in termini monetari: se sei più ricco di un ricco allora sei certamente ricco; ma se sei più povero di un ricco non si sa bene che cosa tu sia
).L'idea è quella che ti ho scritto io prima: integra per parti e poi usa il confronto e il ben noto fatto che convergenza assoluta implica convergenza semplice.
L'integrale (quello iniziale con il seno) converge in modo improprio. In questo caso il confronto asintotico non funziona.
Se pensi a come è fatta la funzione $\frac{\sin(x)}{x}$ puoi farti venire un'idea del perché l'integrale converga solo in senso improprio. La questione è legata al fatto che la parte positiva e negativa della funzione si compensano in mdo che l'integrale converga, ecco il perché dell'esempio della serie a segni alterni che ti avevo proposto.
Se pensi a come è fatta la funzione $\frac{\sin(x)}{x}$ puoi farti venire un'idea del perché l'integrale converga solo in senso improprio. La questione è legata al fatto che la parte positiva e negativa della funzione si compensano in mdo che l'integrale converga, ecco il perché dell'esempio della serie a segni alterni che ti avevo proposto.
grazie mille ora mi sono un bel po' chiarito le idee
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