Convergenza integrale improprio
salve ho un esercizio su un integrale improprio:
dimostrare che $int_3^4 1/(x^3-7x^2+16x-12)= +infty $
con il confronto:
ovviamente so come funziona la regola , ma la cosa che ancora oggi non mi è chiara e che sto cercando di capire è "trovare la funzione per il confronto in base alla funzione integranda".
nel caso di una funzione come questa, non so se è un abuso definirla polinomiale ;
quali funzioni si apprestano al confronto ? .....
io conosco solo $ 1/x^(alpha) $ e $1/(|x-x_0|)$
grazie.
dimostrare che $int_3^4 1/(x^3-7x^2+16x-12)= +infty $
con il confronto:
ovviamente so come funziona la regola , ma la cosa che ancora oggi non mi è chiara e che sto cercando di capire è "trovare la funzione per il confronto in base alla funzione integranda".
nel caso di una funzione come questa, non so se è un abuso definirla polinomiale ;
quali funzioni si apprestano al confronto ? .....
io conosco solo $ 1/x^(alpha) $ e $1/(|x-x_0|)$
grazie.
Risposte
Nota che puoi fattorizzare il denominatore: [tex]$x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3)$[/tex].
Comunque, solitamente questo tipo di funzioni si chiamano razionali (le funzioni fratte con polinomi a numeratore e denominatori).
In ogni caso, per il criterio del confronto, dipende dalla funzione che hai. Però solitamente si usano le funzioni che hai scritto tu come campioni perché si conosce il loro comportamento [tex]$\forall \alpha \in \mathbb{R}$[/tex]. In questo caso, però, puoi trovare una primitiva esplicita, quindi calcolare il limite che compare nella definizione di integrale improprio.
Inoltre, la tua primitiva sarà della forma: [tex]$A\log|x-2|-\frac{B}{x-2}-A\log|x-3|$[/tex], quindi è evidente che quell'integrale diverge.
Comunque, solitamente questo tipo di funzioni si chiamano razionali (le funzioni fratte con polinomi a numeratore e denominatori).
In ogni caso, per il criterio del confronto, dipende dalla funzione che hai. Però solitamente si usano le funzioni che hai scritto tu come campioni perché si conosce il loro comportamento [tex]$\forall \alpha \in \mathbb{R}$[/tex]. In questo caso, però, puoi trovare una primitiva esplicita, quindi calcolare il limite che compare nella definizione di integrale improprio.
Inoltre, la tua primitiva sarà della forma: [tex]$A\log|x-2|-\frac{B}{x-2}-A\log|x-3|$[/tex], quindi è evidente che quell'integrale diverge.
Per il segno: sull'intervallo $(3,4)$ il denominatore risulta sempre positivo, quindi il valore dell'integrale risulta positivo.
Purtroppo per l'esercizio non so aiutarti, ma posso citarti ciò che mi ha detto il mio professore di analisi quando l'anno scorso gli avevo posto la tua stessa domanda.
A sua detta non c'è una regola, ma serve solo tanta esperienza e fare tanti esercizi; dopo di che riuscirai a trovarla in sempre meno tentativi, finchè ti sembrerà ovvio qual è la funzione corretta.
Io personalmente le trovo solo in casi semplici, comunque di regole non credo ce ne siano.
A sua detta non c'è una regola, ma serve solo tanta esperienza e fare tanti esercizi; dopo di che riuscirai a trovarla in sempre meno tentativi, finchè ti sembrerà ovvio qual è la funzione corretta.
Io personalmente le trovo solo in casi semplici, comunque di regole non credo ce ne siano.
Ha ragione Ciampax. Hai praticamente concluso 
"Antimius":
Nota che puoi fattorizzare il denominatore: [tex]$x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3)$[/tex].
Comunque, solitamente questo tipo di funzioni si chiamano razionali (le funzioni fratte con polinomi a numeratore e denominatori).
In ogni caso, per il criterio del confronto, dipende dalla funzione che hai. Però solitamente si usano le funzioni che hai scritto tu come campioni perché si conosce il loro comportamento [tex]$\forall \alpha \in \mathbb{R}$[/tex]. In questo caso, però, puoi trovare una primitiva esplicita, quindi calcolare il limite che compare nella definizione di integrale improprio.
Inoltre, la tua primitiva sarà della forma: [tex]$A\log|x-2|-\frac{B}{x-2}-A\log|x-3|$[/tex], quindi è evidente che quell'integrale diverge.
questa primitiva è la primitiva del generico : $int 1/[(x-a)^2 (x-b)] dx $ ??
ho tutta la tabella delle integrande razionali , ma questa non ce l'ho!
grave! dato che questa forma si trova spesso .....
grazie per le risposte ragazzi!
Basta che fai la decomposizione tramite Hermite per calcolare la primitiva. Non c'è bisogno di impararla a memoria 
[tex]$\frac{1}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{x-b}$[/tex]
Senza calcolare le costanti, puoi dire che [tex]$C=-A$[/tex].
Infatti, puoi vederla in questo modo: [tex]$\frac{x}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{Ax}{x-a}+\frac{Bx}{(x-a)^2}+\frac{Cx}{x-b}$[/tex].
Passando al limite per [tex]$x \to +\infty$[/tex] ottieni che [tex]$A+C=0$[/tex].
E' evidente, dunque, che [tex]$A \neq 0$[/tex], altrimenti eguaglieresti due funzioni fratte diverse.
Calcolando la primitiva, ottieni allora [tex]$\int \frac{1}{(x-a)^2(x-b)}\, dt=A\log{|x-a|}-\frac{B}{x-a}-A\log{|x-b|}$[/tex].
Nel tuo caso, essendo uno dei due estremi [tex]$b$[/tex], l'integrale diverge.
Per il segno, segui il ragionamento di Ciampax e non c'è bisogno di fare calcoli
[tex]$\frac{1}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{x-b}$[/tex]
Senza calcolare le costanti, puoi dire che [tex]$C=-A$[/tex].
Infatti, puoi vederla in questo modo: [tex]$\frac{x}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{Ax}{x-a}+\frac{Bx}{(x-a)^2}+\frac{Cx}{x-b}$[/tex].
Passando al limite per [tex]$x \to +\infty$[/tex] ottieni che [tex]$A+C=0$[/tex].
E' evidente, dunque, che [tex]$A \neq 0$[/tex], altrimenti eguaglieresti due funzioni fratte diverse.
Calcolando la primitiva, ottieni allora [tex]$\int \frac{1}{(x-a)^2(x-b)}\, dt=A\log{|x-a|}-\frac{B}{x-a}-A\log{|x-b|}$[/tex].
Nel tuo caso, essendo uno dei due estremi [tex]$b$[/tex], l'integrale diverge.
Per il segno, segui il ragionamento di Ciampax e non c'è bisogno di fare calcoli
"Antimius":
Basta che fai la decomposizione tramite Hermite per calcolare la primitiva. Non c'è bisogno di impararla a memoria
[tex]$\frac{1}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{x-b}$[/tex]
Senza calcolare le costanti, puoi dire che [tex]$C=-A$[/tex].
Infatti, puoi vederla in questo modo: [tex]$\frac{x}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{Ax}{x-a}+\frac{Bx}{(x-a)^2}+\frac{Cx}{x-b}$[/tex].
Passando al limite per [tex]$x \to +\infty$[/tex] ottieni che [tex]$A+C=0$[/tex].
E' evidente, dunque, che [tex]$A \neq 0$[/tex], altrimenti eguaglieresti due funzioni fratte diverse.
Calcolando la primitiva, ottieni allora [tex]$\int \frac{1}{(x-a)^2(x-b)}\, dt=A\log{|x-a|}-\frac{B}{x-a}-A\log{|x-b|}$[/tex].
Nel tuo caso, essendo uno dei due estremi [tex]$b$[/tex], l'integrale diverge.
Per il segno, segui il ragionamento di Ciampax e non c'è bisogno di fare calcoli
grazie mille; hai spiegato alla perfezione, si in effetti non è che voglio imparare a memoria, capendo il concetto e magari non ricordandosi questi passaggi e come se non hai fatto niente;
sono tanti gli integrali impropri e quindi mi concedo a volte un approccio classificativo di alcune cose !
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