Convergenza integrale improprio
Salve vorrei un consiglio sul titolo del topic.
sto studiando ed esercitandomi sulla convergenza degli integrali impropri...
fin ora li ho studiati per lo più con il confronto con $ 1/x^a$ e relativo criterio... che però penso non sia possibile utilizzare per il seguente integrale.
$ int_(pi/2)^pi [(1+x^2) cosx]/(x-pi/2)^(3/2) dx$
prego chi risponde di non tagliare ... con frasi del tipo... si vede ad occhio o robe varie.. .ma con un minimo di spiegazione !
grazie cordiali saluti.!!
sto studiando ed esercitandomi sulla convergenza degli integrali impropri...
fin ora li ho studiati per lo più con il confronto con $ 1/x^a$ e relativo criterio... che però penso non sia possibile utilizzare per il seguente integrale.
$ int_(pi/2)^pi [(1+x^2) cosx]/(x-pi/2)^(3/2) dx$
prego chi risponde di non tagliare ... con frasi del tipo... si vede ad occhio o robe varie.. .ma con un minimo di spiegazione !
grazie cordiali saluti.!!
Risposte
L'estremo che rende critica l'integrazione è $ x=pi/2 $ in quanto annulla il denominatore.
Anche il numeratore si annulla per $ x=pi/2 $.
Bisogna allora valutare l'andamento della funzione integranda nell'intorno di $ x=pi/2 $ .
Il numeratore è asintotico a $(1+pi^2/4) ( pi/2-x) = -(1+pi^2/4) ( x-pi/2) $ nell'intorno di $x=pi/2$ ok ?
Il denominatore è $(x-pi/2)^(3/2)$.
Dunque la funzione integranda è asintotica a $ -k/ (x-pi/2)^(1/2)$ del tipo quindi $ 1/(x-x_0)^(alpha) $ con $alpha < 1 $ nel caso è $1/2$.
Quindi la funzione è integrabile . ok ?
Anche il numeratore si annulla per $ x=pi/2 $.
Bisogna allora valutare l'andamento della funzione integranda nell'intorno di $ x=pi/2 $ .
Il numeratore è asintotico a $(1+pi^2/4) ( pi/2-x) = -(1+pi^2/4) ( x-pi/2) $ nell'intorno di $x=pi/2$ ok ?
Il denominatore è $(x-pi/2)^(3/2)$.
Dunque la funzione integranda è asintotica a $ -k/ (x-pi/2)^(1/2)$ del tipo quindi $ 1/(x-x_0)^(alpha) $ con $alpha < 1 $ nel caso è $1/2$.
Quindi la funzione è integrabile . ok ?
"Camillo":
L'estremo che rende critica l'integrazione è $ x=pi/2 $ in quanto annulla il denominatore.
Anche il numeratore si annulla per $ x=pi/2 $.
Bisogna allora valutare l'andamento della funzione integranda nell'intorno di $ x=pi/2 $ .
Il numeratore è asintotico a $(1+pi^2/4) ( pi/2-x) = -(1+pi^2/4) ( x-pi/2) $ nell'intorno di $x=pi/2$ ok ?
Il denominatore è $(x-pi/2)^(3/2)$.
Dunque la funzione integranda è asintotica a $ -k/ (x-pi/2)^(1/2)$ del tipo quindi $ 1/(x-x_0)^(alpha) $ con $alpha < 1 $ nel caso è $1/2$.
Quindi la funzione è integrabile . ok ?
spiegazione chiarissima grazie !
ho rivisto l'esercizio si poteva studiare separatamente il numeratore ... studiando il comportamento del coseno nel punto $pi/2$
cosa intendi te quando dici studiare l'andamento della funzione nell'intorno... io ho studiato l'andamento della funzione nell'intorno $pi/2$ calcolando la derivata di $cosx$ in $x_0=pi/2$ e poi calcolandomi l'equazione della retta "derivata"
e ho visto che il coseno si comportava come $y=(pi/2-x)$ , quindi ho semplificato con il denominatore e sono arrivato alla forma nota da te precedentemente citata.
cmq... mentre che ci sono propongo un altro integrale per vedere se ho chiarito un pò le idee.
$ int_(0)^1 (sen^3x)/(x^4 sqrt(x)) dx $ quì il problema è $x=0$ quindi se facciamo il confronto con $ 1/x^(9/2)$ si ha $lim_(x to 0) (sen^3x* x^(9/2))/(x^(9/2))$ = $0$ e quindi convergente o integrabile no ?
grazie
Il problema è senz'altro $x=0 $ ; la funzione integranda la puoi riscrivere così $ ((sen^3x)/x^3) *1/(x sqrt(x)) $ .
il primo fattore $ rarr 1 $ per il ben noto limite notevole , il secondo va a $ +oo $ come $ 1/x^(3/2) $ e quidni l'integrale diverge essendo $ 3/2 > 1 $ .
Non ho capito il confronto .
il primo fattore $ rarr 1 $ per il ben noto limite notevole , il secondo va a $ +oo $ come $ 1/x^(3/2) $ e quidni l'integrale diverge essendo $ 3/2 > 1 $ .
Non ho capito il confronto .
"Camillo":
Il problema è senz'altro $x=0 $ ; la funzione integranda la puoi riscrivere così $ ((sen^3x)/x^3) *1/(x sqrt(x)) $ .
il primo fattore $ rarr 1 $ per il ben noto limite notevole , il secondo va a $ +oo $ come $ 1/x^(3/2) $ e quidni l'integrale diverge essendo $ 3/2 > 1 $ .
Non ho capito il confronto .
ho un appunto... non so se si tratta del criterio di cauchy.
in cui si svolge il confronto asintotico con la funzione campione $1/x^(alpha)$ svolgendo il limite $lim_(x to x_0)f(x)/(1/(x)^alpha)$ e se il limite esiste finito l'integrale diverge , se il limite è infinito o zero l'integrale converge; tutto ciò per $alpha >1$
viceversa succede con $alpha<1$
sicuramente è un appunto errato ...e per questo chiedo lumi a riguardo
grazie
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