Convergenza integrale improprio
ciao a tutti, non riesco a capire come devo impostare questo esercizio:
determinare per quali valori di $\alpha$ converge il seguente integrale:
$\int_0^1dx/(x^-\alpha+x^(\alpha+3)$
E' un integrale improprio, inizialmente ho pensato di impostare una disequazione, poichè :
$\int_0^1x^rdx={(1/(r+1),if r>--1),(infty,if r<=-1):}$
ma purtroppo non sono arrivato ad una conclusione.
Poi ho anche pensato di raccoglier un fattore e riportare il mio studio ad un integrale di una funzione razionale fratta...ma anche questa opzione si è rivelata fallimentare...cosa sto sbagliando?
determinare per quali valori di $\alpha$ converge il seguente integrale:
$\int_0^1dx/(x^-\alpha+x^(\alpha+3)$
E' un integrale improprio, inizialmente ho pensato di impostare una disequazione, poichè :
$\int_0^1x^rdx={(1/(r+1),if r>--1),(infty,if r<=-1):}$
ma purtroppo non sono arrivato ad una conclusione.
Poi ho anche pensato di raccoglier un fattore e riportare il mio studio ad un integrale di una funzione razionale fratta...ma anche questa opzione si è rivelata fallimentare...cosa sto sbagliando?
Risposte
[mod="Gugo82"]Modificato il titolo: "integrale" era troppo generico.[/mod]
Fatto il m.c.m. al denominatore la funzione integranda diventa $x^alpha/(1+x^(2alpha +3))$ e tutto sta a vedere come tale funzione si comporta in $0$ (dato che in $1$ non dà problemi).
Ad esempio, se $alpha >=0$, l'integrando si prolunga per continuità su $0$, quindi non ci sono problemi.
Se, invece $alpha <0$, il numeratore è infinito, ma il denominatore cambia il suo carattere a seconda che $2alpha+3>0$, $2alpha+3=0$ oppure $2alpha+3<0$: in questo caso ti tocca fare un po' di (facili) conti.
Fatto il m.c.m. al denominatore la funzione integranda diventa $x^alpha/(1+x^(2alpha +3))$ e tutto sta a vedere come tale funzione si comporta in $0$ (dato che in $1$ non dà problemi).
Ad esempio, se $alpha >=0$, l'integrando si prolunga per continuità su $0$, quindi non ci sono problemi.
Se, invece $alpha <0$, il numeratore è infinito, ma il denominatore cambia il suo carattere a seconda che $2alpha+3>0$, $2alpha+3=0$ oppure $2alpha+3<0$: in questo caso ti tocca fare un po' di (facili) conti.
innanzitutto ti ringrazio della risposta ( non ci speravo più! ;D), però credo di non aver afferrato ciò che tu mi vuoi dire. Il mio concetto quindi era sbagliato, cioè, non mi devo ricondurre ad un integrale del tipo:
$\int_0^1x^rdx={(1/(r+1),if r>--1),(infty,if r<=-1):}$
anche perchè mi pare che dal tuo ragionamento, tu escluda questa generalizzazione...giusto?
$\int_0^1x^rdx={(1/(r+1),if r>--1),(infty,if r<=-1):}$
anche perchè mi pare che dal tuo ragionamento, tu escluda questa generalizzazione...giusto?
ah un'altra cosa Gugo82....che titolo metto? non mi viene in mente nulla.... -.-
Il titolo l'ho già modificato io... 
Per quanto riguarda la tua voglia di ricondurre l'integrando a quella forma, lo puoi fare "asintoticamente" (ossia al limite in $0$) ma non dovunque: in effetti è proprio quel che (sotto-sotto) fai quando vai a stabilire l'ordine di infinito/infinitesimo di tale funzione in $0$.
Infine, aspettare una risposta per 3 ore su un forum frequentato da appassionati (e non da "risolutori stipendiati") non mi pare tanto. Non vedo perchè disperare: nel frattempo avrai fatto altri esercizi, no?
Per quanto riguarda la tua voglia di ricondurre l'integrando a quella forma, lo puoi fare "asintoticamente" (ossia al limite in $0$) ma non dovunque: in effetti è proprio quel che (sotto-sotto) fai quando vai a stabilire l'ordine di infinito/infinitesimo di tale funzione in $0$.
Infine, aspettare una risposta per 3 ore su un forum frequentato da appassionati (e non da "risolutori stipendiati") non mi pare tanto. Non vedo perchè disperare: nel frattempo avrai fatto altri esercizi, no?
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