Convergenza integrale improprio
Ciao a tutti qualcuno mi può scrivere perchè questo integrale improprio
$int_0^1 lnx/sqrtx dx$
converge... senza calcolare la primitiva ma sfruttando il criterio del confronto (o del confronto asintotico)
Grazie in anticipo...
$int_0^1 lnx/sqrtx dx$
converge... senza calcolare la primitiva ma sfruttando il criterio del confronto (o del confronto asintotico)
Grazie in anticipo...
Risposte
stesse richieste per un altro integrale......
$ int_0^3 (1-cosx)/(x^2sinsqrtx) dx $
provo a fare il limite di
$lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2sinsqrtx)
con taylon mi viene:
$ lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2sinsqrtx) = lim_(x->0) (1-(1-x^2/2) + o(x^3))/(x^2[sqrtx+o(x)])=+oo $
ma non dovrebbe fare $-oo$???
dopodichè, poichè $f(x)$ non è sempre positiva, considero la funzione $ |(1-cosx)/(x^2sinsqrtx)|$
ma ora..... qual'è una funzione $g(x)$ positiva e minore di $f(x)$
e tale che $int_0^3 g(x) dx $ diverge
così che possa concludere che anche $ int_0^3 (1-cosx)/(x^2sinsqrtx) dx $ diverge per confronto????????????
$ int_0^3 (1-cosx)/(x^2sinsqrtx) dx $
provo a fare il limite di
$lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2sinsqrtx)
con taylon mi viene:
$ lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2sinsqrtx) = lim_(x->0) (1-(1-x^2/2) + o(x^3))/(x^2[sqrtx+o(x)])=+oo $
ma non dovrebbe fare $-oo$???
dopodichè, poichè $f(x)$ non è sempre positiva, considero la funzione $ |(1-cosx)/(x^2sinsqrtx)|$
ma ora..... qual'è una funzione $g(x)$ positiva e minore di $f(x)$
e tale che $int_0^3 g(x) dx $ diverge
così che possa concludere che anche $ int_0^3 (1-cosx)/(x^2sinsqrtx) dx $ diverge per confronto????????????
Per $x rarr 0 $ si ha che $(1-cosx)/x^2 $ tende a $1/2$ ; sempre per $ x rarr 0 $ si ha che $ sin(sqrt(x)$ è asintotico a $ sqrt(x) = x^(1/2)$.
In conclusione la funzione integranda è asintotica a $(1/2)/x^(1/2) $ e quindi l'integrale converge poichè x a denominatore ha esponente $< 1 $ .
In conclusione la funzione integranda è asintotica a $(1/2)/x^(1/2) $ e quindi l'integrale converge poichè x a denominatore ha esponente $< 1 $ .
Grazie mille hai perfettamente ragione!!
Io mi ostinavo a cercare una funzione asintotica per $x->oo$ quando invece mi serviva per $x->0$!!!!
Io mi ostinavo a cercare una funzione asintotica per $x->oo$ quando invece mi serviva per $x->0$!!!!
..... un'altra domanda, esiste un teorema che dimostra che
se [size=150]$lim_(x->oo) f(x)=+oo => int_a^(+oo) f(x) dx $[/size] diverge ?????
se [size=150]$lim_(x->oo) f(x)=+oo => int_a^(+oo) f(x) dx $[/size] diverge ?????
"vs88":
..... un'altra domanda, esiste un teorema che dimostra che
se [size=150]$lim_(x->oo) f(x)=+oo => int_a^(+oo) f(x) dx $[/size] diverge ?????
Sia $f:[a,+oo[toRR$ una funzione limitata inferiormente (cioè $exists L in RR:quad AAx in [a,+oo[,f(x)ge L$), integrabile secondo Riemann su ogni compatto di $[a,+oo[$ e tale che $lim_(xto +oo)f(x)=+oo$.
Mostriamo che $\int_a^(+oo)f(x)" d"x=+oo$.
Per definizione comunque si scelga $M>0$ esiste un $delta_Mge a$ tale che $AA x in [delta_M,+oo[, quad f(x)geM$; abbiamo:
$AA y>delta_M,quad \int_(delta_M)^y f(x)" d"xge \int_(delta_M)^yM" d"x=M*(y-delta_M)$,
quindi, fissato $M=max{1,L}>0$, risulta:
$\int_(delta_M)^(+oo)f(x)" d"x=lim_(yto +oo)\int_(delta_M)^yf(x)" d"xge lim_(yto +oo)M*(y-delta_1)=+oo$
onde $\int_(delta_M)^(+oo)f(x)" d"x=+oo$; la inferiore limitatezza di $f$ ci assicura che l'integrale $\int_a^(delta_M)f(x)" d"x$ non è divergente negativamente (difatti risulta $-oo
La dimostrazione di un fatto così ovvio dovrebbe essere alla portata di tutti gli studenti di Analisi I.
ok tutto ok grazie per la disponibilità!
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