Convergenza integrale improprio

[manuelb93]

Buongiorno a tutti. Vorrei chiedervi un suggerimento riguardo l'integrabilità in senso improprio in un intorno destro di 1 e all'infinito dell'integranda per calcolare il dominio della seguente funzione integrale
$\F(x)=int_2^x \ ((t+1)^(1/3))/((t)^(2/3)-1) \dt$
In particolare mi riferisco all'utilizzo dei criteri di integrabilità per integrali impropri di prima e seconda specie.
Grazie in anticipo

[Rigel1]

Per \(t\to +\infty\) non dovresti avere grossi problemi a verificare che l'integranda è asintotica a \(t^{-1/3}\).

Per \(t \to 1^+\), per capire cosa succede a denominatore puoi usare il fatto che
\[
t^{\alpha} - 1 \sim \alpha (t-1),
\qquad t \to 1.
\]

[manuelb93]

Giusto. La relazione di asintotico per $x->1$ deriva dalla sostituzione di $t=x+1$ nel limite notevole:
$lim (1+x)^a -1$ per $x->0$ ?
Insomma per concludere dovrebbe non essere integrabile in senso improprio, giusto?

Grazie in anticipo