Convergenza integrale improprio

[mbistato]

Ciao, devo studiare la convergenza del seguente integrale:

$$\int_1^{+\infty}\frac{cosx}{\sqrt{x}}$$

Secondo il seguente criterio:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Scegliendo ad esempio $p=3/4$ ottengo

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{3/4-1/2}cosx=+\infty$$

essendo $cosx$ una funzione limitata e $x^{3/4-1/2}\rightarrow +\infty$ per $x\rightarrow +\infty$.

L'integrale dunque diverge. Il testo invece mi dice che converge ma non capisco. Forse sbaglio ad applicare il criterio??

[otta96]

"mbistato":$$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{3/4-1/2}cosx=+\infty$$
essendo $cosx$ una funzione limitata e $x^{3/4-1/2}\rightarrow +\infty$ per $x\rightarrow +\infty$.

COOOSA?!?!?

[mbistato]

Per la precisione il limite fa $\infty$ visto che non sappiamo il segno del valore a cui tende la funzione limitata $cosx$

[otta96]

In realtà quello è proprio il motivo per cui si può dire che il limite non esiste.

[dissonance]

Aggiungo alla risposta corretta di otta96 che questi criteri servono solo per la convergenza assoluta. (Per rendersene conto bisogna capire bene la dimostrazione). La funzione integranda in questo caso non ha il segno costante, cambia segno in qualsiasi intorno di \(+\infty\), quindi non si può usare nessun criterio facile già pronto, bisogna inventarsi qualcos'altro.

Aggiungo un'altra cosa:

Per la precisione il limite fa $\infty$ visto che non sappiamo il segno del valore a cui tende la funzione limitata cosx

Recentemente ho fatto una affermazione categorica, nel post che segue, riguardo la matematica delle scuole superiori:

viewtopic.php?p=8293465#p8293465

Il motivo di quella mia affermazione sta proprio in strafalcioni come questo nel quote.