Convergenza integrale improprio

[Lory9618]

Integrale Improprio:

$int_2^3 (x*(sin(x-2))^alpha)/(sqrt(x^2-4)) dx$

La funzione integranda è infinita per $x=2$, dunque studio i limiti che tendono a $->infty$ e $x->2$ per studiarne il comporamento.

$f(x) ~ (sin(x-2))^alpha$ per $ x->infty$ che avrà valori compresi tra -1 e 1 e per convergere $alpha<1$

$f(x) = 0$ per $x->2$ Ma non penso sia giusto

Risultato [$alpha > (-1/2)$]

[billyballo2123]

1) Se l'integrale è tra $2$ e $3$, perché ti interessa cosa succede per $x\to+\infty$?
2) Se anche fosse sensato studiare la funzione in un intorno di $+\infty$, non ha senso dire

"Lory9618":
$f(x)~(sin(x−2))^α$ per $x→∞$ che avrà valori compresi tra -1 e 1 e per convergere $α<1$

3) Dato che il problema è capire cosa succede nell'intorno di $2$, devi trovare l'asintotico della funzione integranda (che è $(x-2)^{\alpha-1/2}$) e studiare per quali $\alpha$ l'integrale converge.

[Lory9618]

1) Giusto, non ha alcun senso, errore mio.
2) Non ha senso studiare la convergenza poichè comunque oscillerebbe sempre tra quei due valori giusto (-1 e 1)?
3) Non capisco come venga quel $(-1/2)$ al seno. Poi per valutare per quali valori converge non dovrebbe essere rispettata la disuguaglianza $alpha-1/2 < 1$?

[feddy]

ciao,

la funzione presenta della singolarità in $x=2$.

Per il limite notevole del seno: $ sen(x-2)^{\alpha}~ (x-2)^{\alpha} $

Al denominatore possiamo vedere la radice come:
$ [(x-2)(x+2)]^{1/2} $

La frazione può essere riscritta come:

$ frac{1}{(x-2)^{1/2-\alpha}(x+2)} $

e l'intrgrale converge se:

$ 1/2 - \alpha < 1 $, da cui: $\alpha > frac{-1}{2}$

[Lory9618]

Ahhh ora ho capito! Quel magheggio con la radice proprio non l'avevo visto!
Grazie mille, tutto è chiarissimo ora!