Convergenza Integrale Improprio

[fra_62]

Ciao, vorrei sottoporvi un integrale improprio a cui non riesco a venire a capo.
Son sicuro che è una cavolata atomica. xD

$ int_(0)^(2) log ((4-x^2)/(2x)) dx $

L'esercizio richiede di determinare, senza calcolarlo direttamente, se converge oppure no.

Poichè l'integrale è improprio su entrambi gli estremi di integrazione, ho cominciato scrivendolo come una somma in questo modo:

$ int_(0)^(c) log ((4-x^2)/(2x)) dx + int_(c)^(2) log ((4-x^2)/(2x)) dx $

Svolgendone cosi uno per volta, di modo che se entrambi convergono allora converge anche quello di partenza, mentre se almeno uno diverge, allora divergerà anche quello iniziale.

Il mio problema è che non riesco a capire come verificare questo integrale senza calcolarlo, perchè svolgendolo per parti son riuscito a trovare che il primo converge, mentre il secondo no.
Ho provato anche a scomporre i logaritmi con le note proprietà.

Potete aiutarmi? Ho sbagliato qualcosa nell'impostazione dell'esercizio?
Grazie

[anto_zoolander]

non sarebbe più comodo:

$int_{0}^{2}log((4-x^2)/(2x))dx = int_{0}^{2}log(4-x^2)-log(2x)dx = int_{0}^{2}log(4-x^2)dx-int_{0}^{2}log(2x)dx$

e vedere se convergono singolarmente?

inoltre non so se ti interessa per l'esercizio, ma l'integranda è anche negativa, quindi si tratta di area con segno.

[fra_62]

Si si, infatti ho scritto che ho provato anche con le proprietà dei logaritmi.
In particolare, come hai scritto tu:

$ int_(0)^(2) log ((4-x^2)/(2x)) dx = int_(0)^(2) log(4-x^2)dx - int_(0)^(2) log(2x)dx$


Dove il primo è improprio su $ x=2 $ , mentre il secondo su $ x=0 $

Il fatto è che anche a questo punto, senza risolverli direttamente, non riesco a capire come poter dimostrare la loro convergenza (o divergenza)...

Ho provato anche, sempre con le proprietà del logaritmi a vederlo cosi:

$ int_(0)^(2) log(((2-x)(2+x))/(2x)) dx = int_(0)^(2) log((2-x)/(2x))dx +int_(0)^(2) log(2+x)dx$

dove la convergenza di $int_(0)^(2) log(2+x)dx$ è immediatamente provata e riducendosi a studiare solo:

$int_(0)^(2) log((2-x)/(2x))dx $

E di conseguenza a studiare anche separatamente $int_(0)^(2) log((2-x)/(2x))dx = int_(0)^(2)log(2-x) dx - int_(0)^(2) log(2x)dx$

M anche cosi non riesco a capire come dimostrare senza risolvere... Puoi darmi una mano?

EDIT: devo mica aiutarmi con gli sviluppi di Taylor?

[dissonance]

"fra_62":

EDIT: devo mica aiutarmi con gli sviluppi di Taylor?

mi sa di si

specialmente per $\log (4-x^2)$

[quantunquemente]

facciamo una cosa : scriviamoci l'integrando come $ln(2+x)+ln(2-x)-ln(2x)$
poi andiamo a controllare se a $0$ la funzione $ln(2x)$ sia un infinito di ordine minore di $1$(lo è) e se a $2$ la funzione $ln(2-x)$ sia un infinito di ordine minore di $1$(lo è) e applichiamo un ben noto teorema

[fra_62]

"quantunquemente":facciamo una cosa : scriviamoci l'integrando come $ln(2+x)+ln(2-x)-ln(2x)$
poi andiamo a controllare se a $0$ la funzione $ln(2x)$ sia un infinito di ordine minore di $1$(lo è) e se a $2$ la funzione $ln(2-x)$ sia un infinito di ordine minore di $1$(lo è) e applichiamo un ben noto teorema

Per determinare l'ordine di infinito devo utilizzare gli infinitesimi campione giusto? Oppure usare gli sviluppi di taylor.

Il corollario del teorema del confronto dovrebbe essere questo:

$ f: (a,b] rarr\Re $ integrabili $ AA (a+delta ,b] $

Se $ f(x)rarr +prop $ per $ xrarr a^+ $ di ordine $ <= alpha < 1 $ , allora $ EE int_(a)^(b) f(x) dx $

Grazie per la pazienza

[dissonance]

@fra_62: per favore lascia perdere il mio post precedente, segui piuttosto i consigli di quantunquemente, non vorrei farti confondere.

[fra_62]

Non capisco come determinare l'ordine di infinito di

$ log2x $ per $ xrarr 0 $

e di $ log(2-x) $ per $ xrarr2 $

Entrambi si possono ridurre allo studio di $ logx $ per $ xrarr0 $ , scomponendo con le proprietà dei logaritmi nel primo e cambiando la variabile nel secondo.
La domanda, sicuramente banale, è: come capisco che l'ordine di infinito di $ log x $ è minore di 1? Uso gli infiniti campione? Il corollario che ho citato nel post precedente mi è utile?

Grazie ancora per le eventuali delucidazioni

[quantunquemente]

"fra_62":Uso gli infiniti campione?

certamente

è immediato vedere $ lim_(x -> 0^+) lnx/(1/x)=0 $

[fra_62]

"quantunquemente":
certamente

è immediato vedere $ lim_(x -> 0^+) lnx/(1/x)=0 $

Ok credo di aver capito. In generale:

$ lim xrarr 0^+ logx = - oo $

Per studiare il suo ordine di infinito utilizzo l'infinito campione $1/x^p$

Quindi: $ lim xrarr 0^+ logx/( 1/x^p)= limxrarr0^+ x^plogx $

Per qualsiasi $ p>=1 $ il $ lim xrarr 0^+ logx/( 1/x^p) = limxrarr0^+ logx/x^(-p)=0$

Quindi $ logx $ sarà un infinito di ordine inferiore rispetto a $ 1/x^p $, in particolare di ordine minore di $ 1 $.

E' corretto? Grazie mille