Convergenza integrale improprio
Ciao, ho un problema con il seguente integrale improprio
$int_{0}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx $
A me viene che diverge, con tale procedimento:
$int_{0}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx = int_{0}^{1}x^(1/4)/(e^x-1) dx + int_{1}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx$
Per il secondo integrale
$x^(1/4)/(e^x-1)<= 1/e^x to 0$ $per$ $x to infty$
Per il primo integrale
$x^(1/4)/(e^x-1)~~ x^(1/4)/x = 1/x^(3/4) to infty$ $per$ $x to 0$
Perciò
$int_{0}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx to infty$
Il problema è che al mio professore l'integrale converge. Quindi cosa sbaglio?
$int_{0}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx $
A me viene che diverge, con tale procedimento:
$int_{0}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx = int_{0}^{1}x^(1/4)/(e^x-1) dx + int_{1}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx$
Per il secondo integrale
$x^(1/4)/(e^x-1)<= 1/e^x to 0$ $per$ $x to infty$
Per il primo integrale
$x^(1/4)/(e^x-1)~~ x^(1/4)/x = 1/x^(3/4) to infty$ $per$ $x to 0$
Perciò
$int_{0}^{+infty}x^(1/4)/(e^x-1) dx to infty$
Il problema è che al mio professore l'integrale converge. Quindi cosa sbaglio?
Risposte
Quindi secondo te la divergenza e la convergenza di un integrale improprio si basano sul valore di tendenza del termine generico? Assolutamente no.
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}} = \infty \nRightarrow \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} dx \ diverge \]
Il tuo professore ha ragione. L'integrale converge. Studia e capirai il perchè
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}} = \infty \nRightarrow \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} dx \ diverge \]
Il tuo professore ha ragione. L'integrale converge. Studia e capirai il perchè
Ah giusto
$int_{0}^{1} dx/x^(3/4)= lim_(cto 1) int_{0}^{c} dx/x^(3/4)= lim_(cto 1) 4c^(1/4)=4$
$int_{0}^{1} dx/x^(3/4)= lim_(cto 1) int_{0}^{c} dx/x^(3/4)= lim_(cto 1) 4c^(1/4)=4$
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