Convergenza integrale improprio
Buongiorno, ho delle difficoltà nello studiare la convergenza degli integrali impropri.
L' integrale è questo:
$ int_(0)^(oo ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $
La funzione integranda è positiva, quindi posso utilizzare i metodi del confronto.
Ho iniziato così:
essendo improprio sia in $ 0 $ che a $ +oo $ lo spezzo nella somma di due integrali impropri con un "problema solo":
$ int_(0)^(1 ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $ + $ int_(1)^(oo ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $
Studio quando $ x -> 0 $
Utilizzando il primo sviluppo di Taylor mi porto ad avere: $ (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) = (sqrtx x)/((1/2x)x)=2/sqrtx $ (giusto??)
quindi
$ int_(0)^(1)2/(x^(1/2))dx $ converge allora anche $ int_(0)^(1 ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $ (giusto??)
Studio quando $ x-> oo $
Mi sono bloccato, ho provato in vari modi, ma non riesco a risolvere.
Spererei che lo studio in $ x -> 0 $ sia giusto, vi chiedo una mano per $ x -> oo $
Grazie e buona vigilia!
L' integrale è questo:
$ int_(0)^(oo ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $
La funzione integranda è positiva, quindi posso utilizzare i metodi del confronto.
Ho iniziato così:
essendo improprio sia in $ 0 $ che a $ +oo $ lo spezzo nella somma di due integrali impropri con un "problema solo":
$ int_(0)^(1 ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $ + $ int_(1)^(oo ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $
Studio quando $ x -> 0 $
Utilizzando il primo sviluppo di Taylor mi porto ad avere: $ (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) = (sqrtx x)/((1/2x)x)=2/sqrtx $ (giusto??)
quindi
$ int_(0)^(1)2/(x^(1/2))dx $ converge allora anche $ int_(0)^(1 ) (sqrtxarctanx)/((sqrt(1+x)-1)ln(1+x)) dx $ (giusto??)
Studio quando $ x-> oo $
Mi sono bloccato, ho provato in vari modi, ma non riesco a risolvere.
Spererei che lo studio in $ x -> 0 $ sia giusto, vi chiedo una mano per $ x -> oo $
Grazie e buona vigilia!
Risposte
Credo la risoluzione per $x->0$ sia corretta.
Per $x->oo$, nota che la tua funzione si comporta come $ sqrt(x)/(sqrt(x)log(x))=1/log(x) $ ...
Per $x->oo$, nota che la tua funzione si comporta come $ sqrt(x)/(sqrt(x)log(x))=1/log(x) $ ...
giuuusto, quando si "lavora" le costanti o le addizione non contano giusto? quindi posso vedere la funzione in quel modo? Ora lo risolvo come un integrale (per parti) normale scrivendolo come $ lim_(c -> oo) int_(0)^(c) 1/ln x dx $ ?
Se dimostri che ha ordine di infinitesimo minore di $1$ sei a posto, e non dovrebbe essere troppo difficile 
e come lo dimostro? quando devo fare in questo modo sbaglio sempre...
Dalla teoria:
$f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g(x)$ se risulta che $ lim_(x -> +oo) f(x)/g(x)=0 $
Ti serve dimostrare che il logaritmo di $x$ ha ordine di infinitesimo inferiore o uguale a $1$.
Come faresti?
$f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g(x)$ se risulta che $ lim_(x -> +oo) f(x)/g(x)=0 $
Ti serve dimostrare che il logaritmo di $x$ ha ordine di infinitesimo inferiore o uguale a $1$.
Come faresti?
Il problema mio è che non riesco ad agganciarmi con la teoria. capisco cosa dice ma poi quando la vado ad applicare non so come fare...
La tua $f(x)$ che ha ordine di infinitesimo uguale a $1$ sarà banalmente $1/x$, e sia $g(x)=1/log(x)$. Verifica il limite e hai finito.
Ciao!
Ciao!
scusa se continuo a non capire,ma io in genere pongo f(x) come funzione che devo studiare e poi pongo una $ g(x) $ e dopo faccio i conti e dico tramite le solite tabelline, se conv o non converge.
in questo caso, però il limite = 0 e secondo le tabelline che ho, visto che $ 1/x $ quando $ x-> oo $ diverge, anche l'integrale che studio diverge??
in questo caso, però il limite = 0 e secondo le tabelline che ho, visto che $ 1/x $ quando $ x-> oo $ diverge, anche l'integrale che studio diverge??
up..
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