Convergenza integrale improprio
Ciao a tutti
avrei bisogno di un consiglio su come procedere con lo studio del carattere del seguente integrale
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{ \sin(x^{3}) } }{x(e^{3x}-1)} dx[/tex]
ho pensato di dire che
$sin(x^3) ~~ x^3$
che non so se sia corretto visto che integro tra 0 e 3, intendo dire che non so se 3 sia abbastanza piccolo come valore per poter accettare questa approssimazione
Prendendo per buono questo ragionamento e facendo un po' di semplificazioni arrivo alla forma
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{ x } }{e^{3x}-1} dx[/tex]
e a questo punto mi blocco.
Qualcuno saprebbe indicarmi la strada giusta da percorrere?
ho anche pensato
se pongo $3x=t$ quindi $dt = 3dx$ l'integrale diventa
[tex]\displaystyle \frac{1}{3} \int_{0}^{9}\frac{ \sqrt{\frac{t}{3}} }{e^{t}-1} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{9}\frac{ \sqrt{t} }{e^{t}-1} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{9}\frac{ \sqrt{t} }{e^{t}-1} \frac{ \sqrt{t} }{ \sqrt{t} } dt = \int_{0}^{9}\frac{ t }{\sqrt{t}(e^{t}-1)} dt[/tex]
e pensavo in qualche modo di sfruttare il limite notevole
[tex]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1[/tex]
sono nella giusta direzione?
vi ringrazio molto
Ciao a tutti
avrei bisogno di un consiglio su come procedere con lo studio del carattere del seguente integrale
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{ \sin(x^{3}) } }{x(e^{3x}-1)} dx[/tex]
ho pensato di dire che
$sin(x^3) ~~ x^3$
che non so se sia corretto visto che integro tra 0 e 3, intendo dire che non so se 3 sia abbastanza piccolo come valore per poter accettare questa approssimazione
Prendendo per buono questo ragionamento e facendo un po' di semplificazioni arrivo alla forma
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{ x } }{e^{3x}-1} dx[/tex]
e a questo punto mi blocco.
Qualcuno saprebbe indicarmi la strada giusta da percorrere?
ho anche pensato
se pongo $3x=t$ quindi $dt = 3dx$ l'integrale diventa
[tex]\displaystyle \frac{1}{3} \int_{0}^{9}\frac{ \sqrt{\frac{t}{3}} }{e^{t}-1} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{9}\frac{ \sqrt{t} }{e^{t}-1} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{9}\frac{ \sqrt{t} }{e^{t}-1} \frac{ \sqrt{t} }{ \sqrt{t} } dt = \int_{0}^{9}\frac{ t }{\sqrt{t}(e^{t}-1)} dt[/tex]
e pensavo in qualche modo di sfruttare il limite notevole
[tex]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1[/tex]
sono nella giusta direzione?
vi ringrazio molto
Ciao a tutti
Risposte
innanzitutto,siccome a te interessa cosa succede quando $x rarr 0$ ,è giusto dire che $ sinx^3~x^3 $
a questo punto ,tutto sta nel determinare l'ordine dell'infinito$(sqrt(x))/(e^(3x-1))$ per $x rarr 0$
a questo punto ,tutto sta nel determinare l'ordine dell'infinito$(sqrt(x))/(e^(3x-1))$ per $x rarr 0$
Puoi darmi una dritta?
devo massimizzare la funzione integranda in qualche modo e usare un criterio del confronto?
scusa ma sono una frana in questo campo
devo massimizzare la funzione integranda in qualche modo e usare un criterio del confronto?
scusa ma sono una frana in questo campo
semplifichiamo ancora di più le cose
per $x rarr 0$ si ha $e^(3x)-1 ~3x $
quindi è come se per $x rarr 0$ tu avessi la funzione $1/(3sqrtx)$ ,che è ovviamente un infinito di ordine 1/2 <1
quindi,cosa puoi dire ?
per $x rarr 0$ si ha $e^(3x)-1 ~3x $
quindi è come se per $x rarr 0$ tu avessi la funzione $1/(3sqrtx)$ ,che è ovviamente un infinito di ordine 1/2 <1
quindi,cosa puoi dire ?
Si direi che ci sono arrivato
in pratica ho il caso
[tex]\displaystyle \int_{0}^{c} \frac{1}{x^{\alpha}} dx[/tex] con $alpha <1$ quindi l'integrale converge
dico bene?
in pratica ho il caso
[tex]\displaystyle \int_{0}^{c} \frac{1}{x^{\alpha}} dx[/tex] con $alpha <1$ quindi l'integrale converge
dico bene?
esatto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo