Convergenza integrale improprio

[davide940]

$ int_(0)^(oo) arctan(x)/((x+2)^((a-1)/4) * (5+x)^(2a)) dx $
Allora per determinare la convergenza è corretto dire che per $ x -> oo $ si ha che:
$ arctan(x) -> pi/2 $
$ (x+2)^((a-1)/4) -> x^((a-1)/4)) $
$ (5+x)^(2a) -> x^(2a) $
così risulta che è asintotico a
$ int_(0)^(oo) 1/(x^(2a)) dx $
perchè $ 2a > (a-1)/4 $
l'integrale quindi converge se a > 1/2
Ora lo devo calcolare per $ a = 1 $
$ int_(0)^(oo) arctan(x)/( (5+x)^2) dx $
Trovo una primitiva usando integrazione per parti con
$ f'(x) = 1/( (5+x)^2) $
così
$ f(x) = - 1/(5+x) $
e $ g(x)= arctan(x) $
risulta
$ -arctan(x)/(x+5) - int_(0)^(oo) -1/(x+5) * 1/(1+x^2) dx $
risolvo con i fratti semplici
$ A/(x+5) + (Bx+C)/(1+x^2) $
risulta $ A = 1/26 $
$ B = -1/26 $
$ C = 5/26 $
la primitiva è
$ -arctan(x)/(x+5) +1/26 log(|5+x|) + 5/26 arctan(x)-1/52log(|1+x^2|) $
il risultato è $ 5/52 pi - 1/26 log5 $
e' corretto

[davide940]

nessuna idea?