Convergenza Integrale Improprio

[Maryse1]

Ho un dubbio, nuovamente sugli integrali impropri xD

Stabilire i valori di $ alpha in R $ per i quali l'integrale risulta convergente.

$ int_(0)^(1) (arctg(x^alpha))/(senx + x^(1/2)) dx $

Ovviamente l'unica possibile singolarità si ha in 0, poichè la funzione integranda è definita continua in (0,1]
a questo punto però come continuo? .. ho provato ad usare il confronto asintotico, ma forse sbaglio in qualcosa

[Noisemaker]

Anzitutto osserva che la funzione integranda risulta sempre positiva nell'intervallo $[0;1],$ quindi puoi tranquillamente applicare il criterio del confronto asintotico; per $x\to0^+$ hai che la funzione integranda si comporta come:
\begin{align}
\frac{\arctan x^{\alpha}}{\sin x+\sqrt x}\sim\frac{\arctan x^{\alpha}}{ x^{1/2}}\sim\begin{cases} \frac{ x^{\alpha}}{ x^{1/2}}=\frac{ 1}{ x^{1/2-\alpha}},&\mbox{se}\quad \alpha >0\\\\
\frac{C}{ x^{1/2}},&\mbox{se}\quad \alpha \le0
\end{cases},
\end{align}
e concludere.

[21zuclo]

@Maryse
e ti ridordo sta cosa per gli integrali impropri

quando hai base illimitata, per esempio $\int_(1)^(+\infty)(1)/(x^a)dx$ quest'integrale converge solo quando $a>1$, come facevi per le serie numeriche

se invece la base è limitata, è il contrario di prima!.. cioè $\int_(0)^(1)(1)/(x^a)dx$ questo converge solo quando $a<1$

[Maryse1]

Capito, grazie ad entrambi