Convergenza integrale improprio

[jigen45]

Buongiorno ragazzi e buona domenica! Oggi mi ritrovo di fronte l'integrale

[size=150][tex]\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x}(e^{7x}+\sqrt{x})}\, dx[/tex][/size]

Devo stabilire solo se converge, senza calcolarlo.

In [tex](0, 1][/tex]

[size=150][tex]\sqrt[3]{x}(e^{7x}+\sqrt{x}) > \sqrt[3]{x}[/tex][/size]

Quindi

[size=150][tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}(e^{7x}+\sqrt{x})}\, dx < \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}[/tex][/size]

[size=150][tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}\, dx}[/tex][/size]

è un p-integrale, che converge in quanto l'esponente [tex]\frac{1}{3} < 1[/tex]

Dunque, per il criterio del confronto per gli integrali,

[size=150][tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}(e^{7x}+\sqrt{x})}\, dx[/tex][/size]

converge.

Ora pero, non riesco a trovare in [tex][1, \infty)[/tex] un integrale da confrontare. Perciò mi chiedo su quali criteri si basa la scelta dell'integrale da confrontare? Nel senso: come faccio a scegliere quello giusto? Se prendo quello di prima diverge, giusto? Ringrazio in anticipo

[Brancaleone1]

$int_0^(+oo) g(x)dx=int_0^(+oo) 1/(root(3)(x)(e^(7x)+sqrtx))$

$lim_(x->0^+) g(x)= lim_(x->0^+) 1/(root(3)(x)(e^(7x)+sqrtx))$ \(\displaystyle \sim \) $1/root(3)(x)=+oo text( di ordine) 1/3<1 => text(converge)$

$lim_(x->+oo) g(x)= lim_(x->+oo) 1/(root(3)(x)(e^(7x)+sqrtx))$ \(\displaystyle \sim \) $1/(e^(7x))=0 text( di ordine) >1 => text(converge)$

[jigen45]

Grazie mille Brancaleone La scelta quindi da quanto ho capito si fa sempre tra gli elementi che compaiono? [tex]e^{7x}[/tex], [tex]\sqrt[3]{x}[/tex]... ?

[Brancaleone1]

"jigen45":La scelta quindi da quanto ho capito si fa sempre tra gli elementi che compaiono?

Beh è ovvio... se su uno scaffale ci sono una bottiglia e un piatto non potrò scegliere altro se non la bottiglia o il piatto...
Ad ogni modo, guarda qui

[jigen45]

Grazie mille!