Convergenza integrale improprio
Mi servirebbe una mano con questo integrale improprio:
$\int_{1}^{oo} ((cos(x)-1)^2)/x^2 dx$
Devo stabilire se converge. So che la funzione è definitivamente positiva e che il valore del numeratore sarà compreso tra $[0,4]$. Pensavo di utilizzare il confronto asintotico e dire che $((cos(x)-1)^2)/x^2 \sim 1/x^2$ ma questo non è sempre vero perché $\lim_{n \to \infty}(((cos(x)-1)^2)*x^2)/x^2$ non è detto che sia uguale a $l!=0$, può anche annullarsi se $(cos(x)-1)^2=0$. Sono bloccato potreste darmi una mano?
Grazie!
$\int_{1}^{oo} ((cos(x)-1)^2)/x^2 dx$
Devo stabilire se converge. So che la funzione è definitivamente positiva e che il valore del numeratore sarà compreso tra $[0,4]$. Pensavo di utilizzare il confronto asintotico e dire che $((cos(x)-1)^2)/x^2 \sim 1/x^2$ ma questo non è sempre vero perché $\lim_{n \to \infty}(((cos(x)-1)^2)*x^2)/x^2$ non è detto che sia uguale a $l!=0$, può anche annullarsi se $(cos(x)-1)^2=0$. Sono bloccato potreste darmi una mano?
Grazie!
Risposte
il problema è che quel integrale risulta improrpio a $+\infty$ ... e la stima che hai fatto tu vale se $x\to0$ (che tra l'altro non è corretta)...
"Noisemaker":
il problema è che quel integrale risulta improrpio a $+\infty$ ... e la stima che hai fatto tu vale se $x\to0$ ...
Ecco infatti, allora non so proprio come proedere.
hai che:
\[|\cos x-1|\le|\cos x|+1\le2\]
allora
\[\frac{\left(\cos x -1\right)^2}{x^2}\le\frac{4}{x^2}\]
e quindi concludi....
\[|\cos x-1|\le|\cos x|+1\le2\]
allora
\[\frac{\left(\cos x -1\right)^2}{x^2}\le\frac{4}{x^2}\]
e quindi concludi....
Grazie mille ora mi è tutto chiaro, l'integrale converge. Grazie ancora!
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