Convergenza Integrale generalizzato al variare del parametro
Ciao a tutti.
Ho un integrale di cui discutere la convergenza al variare del parametro $alpha$.
$\int_{1}^{+oo} arctan(x)(1/x-sin(1/x))^alpha dx$
Purtroppo l'appello dell'esame è senza soluzioni e nè WolframAlpha e né Mathematica riescono a calcolarmi l'integrale con un valore di $alpha!=0$.
Io ho proceduto in questo maniera.
Studio la funzione $h(x)=arctan(x)(1/x-sin(1/x))^alpha$ in un intorno di 0, $ ]0,epsilon[ $ .
Calcolo $lim_{x to 0} h(x) = pi/4(1-sin(1))^alpha$ e quindi in un intorno di 0 la funzione è integrabile.
$h(x) ~~_{+oo} 1/x^(3alpha)$ che quindi converge a $+oo$ se e solo se $alpha > 1/3$.
E' giusto?
Ho un integrale di cui discutere la convergenza al variare del parametro $alpha$.
$\int_{1}^{+oo} arctan(x)(1/x-sin(1/x))^alpha dx$
Purtroppo l'appello dell'esame è senza soluzioni e nè WolframAlpha e né Mathematica riescono a calcolarmi l'integrale con un valore di $alpha!=0$.
Io ho proceduto in questo maniera.
Studio la funzione $h(x)=arctan(x)(1/x-sin(1/x))^alpha$ in un intorno di 0, $ ]0,epsilon[ $ .
Calcolo $lim_{x to 0} h(x) = pi/4(1-sin(1))^alpha$ e quindi in un intorno di 0 la funzione è integrabile.
$h(x) ~~_{+oo} 1/x^(3alpha)$ che quindi converge a $+oo$ se e solo se $alpha > 1/3$.
E' giusto?
Risposte
Sì, la conclusione mi pare corretta.
Solo una precisazione: l'integrando ha problemi di definizione in $0$ che però non è nel dominio di integrazione. Quindi non serve studiare la funzione in un intorno di 0. E non serve nemmeno studiarla in un intorno di 1 (cosa che mi pare di capire tu abbia fatto: mi sa che hai scambiato qualche 0 con 1) perché è ivi continua e limitata quindi integrabile. L'unico problema è dunque a $+\infty$ e lo studio è corretto (è Taylor al terzo ordine).
Solo una precisazione: l'integrando ha problemi di definizione in $0$ che però non è nel dominio di integrazione. Quindi non serve studiare la funzione in un intorno di 0. E non serve nemmeno studiarla in un intorno di 1 (cosa che mi pare di capire tu abbia fatto: mi sa che hai scambiato qualche 0 con 1) perché è ivi continua e limitata quindi integrabile. L'unico problema è dunque a $+\infty$ e lo studio è corretto (è Taylor al terzo ordine).
"Paolo90":
Sì, la conclusione mi pare corretta.
Solo una precisazione: l'integrando ha problemi di definizione in $0$ che però non è nel dominio di integrazione. Quindi non serve studiare la funzione in un intorno di 0. E non serve nemmeno studiarla in un intorno di 1 (cosa che mi pare di capire tu abbia fatto: mi sa che hai scambiato qualche 0 con 1) perché è ivi continua e limitata quindi integrabile. L'unico problema è dunque a $+\infty$ e lo studio è corretto (è Taylor al terzo ordine).
Sì, scusa.. ho scambiato qualche 0 con 1.. ehehe. Comunque l'ho studiata in un intorno di 1 per capire appunto che è continua e limitata. Il mio professore vuole tutte le motivazioni(giustamente) quindi tendo a fare anche il superfluo
Grazie tante.
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