Convergenza integrale generalizzato
Ciao a tutti,
sono alle prese con lo studio della convergenza del seguente integrale generalizzato:
$ int_(0)^(+infty) (e^(-1/x))/(x^alpha(1+x)^alpha) dx $
per $ x rarr +infty $ nessun problema:
$ (e^(-1/x))/(x^alpha(1+x)^alpha) ~ 1/(x^(2*alpha)) $ quindi l'integrale converge se $ alpha > 1/2 $
per $ x rarr 0 $ iniziano i problemi:
$ (e^(-1/x))/(x^alpha(1+x)^alpha) ~ (e^(-1/x))/(x^alpha) $ e qui non ho più idea di come procedere!
Grazie per l'aiuto!
sono alle prese con lo studio della convergenza del seguente integrale generalizzato:
$ int_(0)^(+infty) (e^(-1/x))/(x^alpha(1+x)^alpha) dx $
per $ x rarr +infty $ nessun problema:
$ (e^(-1/x))/(x^alpha(1+x)^alpha) ~ 1/(x^(2*alpha)) $ quindi l'integrale converge se $ alpha > 1/2 $
per $ x rarr 0 $ iniziano i problemi:
$ (e^(-1/x))/(x^alpha(1+x)^alpha) ~ (e^(-1/x))/(x^alpha) $ e qui non ho più idea di come procedere!
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Per $x\to 0^+$ potresti pensare al cambiamento di coordinate $x=1/t$ così da avere $t^\alpha e^{-t}$ come termine di confronto. Ora, secondo te, questa funzione, integrata per $t\to+\infty$ cosa fa?
Converge per ogni $ alpha $ ?
Esatto. Sapresti dire perché?
Se ho capito: perchè per ogni $ alpha $ per $ t rarr +infty $ la funzione è di un ordine di infinitesimo sempre maggiore di 1
Sì, ci può stare come risposta.
Grazie per l'aiuto!
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