Convergenza integrale definito
CIao ragazzi, ho un paio di dubbio su esercizi che mi chiedono di determinare per quali valori di $ a $ un determinato integrale converge.
Ad esempio:
$ int_(0)^(1) xe^(2x)(e^(2x)-1)^(a/2) dx $
In linea generale, per determinare la convergenza devo:
1) Capire per "quale estremo" calcolare la funzione asintotica per poi poter utilizzare il criterio del confronto asintotico.
(qui nasce un problemino, come faccio a capire quali estremi "sono problematici"? )
Quindi seguendo l'esempio calcolo la funzione asintotica per $ x->0+ $ o per $ x->1- $ ?
2) Una volta trovata la funzione asintotica, devo capire a quale integrale notevole mi sono ricondotto e quindi da li capisco se per converge il parametro $ a $ deve essere maggio o minore di 1. Ma nel caso dell'esempio postato sopra?
Con cosa lo confronto?
Grazie davvero a tutti.
Ad esempio:
$ int_(0)^(1) xe^(2x)(e^(2x)-1)^(a/2) dx $
In linea generale, per determinare la convergenza devo:
1) Capire per "quale estremo" calcolare la funzione asintotica per poi poter utilizzare il criterio del confronto asintotico.
(qui nasce un problemino, come faccio a capire quali estremi "sono problematici"? )
Quindi seguendo l'esempio calcolo la funzione asintotica per $ x->0+ $ o per $ x->1- $ ?
2) Una volta trovata la funzione asintotica, devo capire a quale integrale notevole mi sono ricondotto e quindi da li capisco se per converge il parametro $ a $ deve essere maggio o minore di 1. Ma nel caso dell'esempio postato sopra?
Con cosa lo confronto?
Grazie davvero a tutti.
Risposte
Ciao, il modo più veloce (anche se non molto corretto dal punto di vista teorico) per capire quali sono gli estremi che danno problemi è quello di sostituirli nell'espressione dell'integrale e vedere quali possono generare forme indeterminate al variare del parametro. In questo caso, nell'estremo di integrazione superiore cioè per x=1 non ci sono problemi, mentre invece nell'estremo di integrazione inferiore, per x=0, potrebbero esserci problemi con l'espressione (e^(2x)-1)^(a/2), infatti otterresti un'espressione del tipo 0^(a/2) che chiaramente da come risultato +infinito se a è negativo. Cerchiamo di semplificare quindi la funzione integranda in un intorno destro di 0 sfruttando equivalenze asintotiche, limiti notevoli e se necessario sviluppi in serie:
\[xe^{2x}\sim _{x\rightarrow 0+}\,\,x
\\
\\
(e^{2x}-1)\sim _{x\rightarrow 0+}\,\,2x\]
Dunque il tuo integrale di partenza avrà il medesimo carattere (in un intorno destro di 0) di:
\[\int_{0}^{1} x(2x)^{\frac{\alpha }{2}}dx=2^{\frac{\alpha }{2}}\int_{0}^{1}x^{1+\frac{\alpha }{2}}dx=
2^{\frac{\alpha }{2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{-1-\frac{\alpha }{2}}}\]
Ci siamo ricondotti ad un integrale improprio notevole ( ti consiglio di cercare la convergenza degli integrali improri notevoli) che converge per:
\[-1-\frac{\alpha }{2}<1\,\,\,\Rightarrow \alpha >-4\]
\[xe^{2x}\sim _{x\rightarrow 0+}\,\,x
\\
\\
(e^{2x}-1)\sim _{x\rightarrow 0+}\,\,2x\]
Dunque il tuo integrale di partenza avrà il medesimo carattere (in un intorno destro di 0) di:
\[\int_{0}^{1} x(2x)^{\frac{\alpha }{2}}dx=2^{\frac{\alpha }{2}}\int_{0}^{1}x^{1+\frac{\alpha }{2}}dx=
2^{\frac{\alpha }{2}}\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{-1-\frac{\alpha }{2}}}\]
Ci siamo ricondotti ad un integrale improprio notevole ( ti consiglio di cercare la convergenza degli integrali improri notevoli) che converge per:
\[-1-\frac{\alpha }{2}<1\,\,\,\Rightarrow \alpha >-4\]
Grazie mille sei stato molto chiaro 
E se volessi risolverlo con $ a = -1 $?
Faccio la sostituzione $ t=sqrt(e^(2x)-1) $ ?
E se volessi risolverlo con $ a = -1 $?
Faccio la sostituzione $ t=sqrt(e^(2x)-1) $ ?
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