Convergenza integrale con parametro
salve ho problemi nel studiare la convergenza di questo integrale:
$ int_(0)^(+oo) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx $
lo spezzo in
$ int_(0)^(1) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx + int_(1)^(+oo) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx $
$ int_(1)^(+oo) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx = int_(1)^(+oo) 1/x^(2a) dx $ converge $ <=> a>1/2 $
$ int_(0)^(1) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a))dx $ non capisco come comportarmi
ho pensato di fare così
$ 0<1/x<1 => 0<1/e^(1/x) < 1/e => 0<1/(e^(1/x)x^a(1+x^a)) < 1/(ex^a(1+x^a)) $ la "e" si puo anche togliere quindi devo studiare
$ 1/(e^(1/x)x^a(1+x^a)) < 1/(ex^a(1+x^a)) $ se dimostro che $ 1/(x^a(1+x^a)) $ converge, allora anche $ 1/(e^(1/x)x^a(1+x^a) $ converege...ma come si fa?
per $ 1/(x^a(1+x^a)) $ non riesco a ricondurmi a nessun integrale noto
$ int_(0)^(+oo) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx $
lo spezzo in
$ int_(0)^(1) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx + int_(1)^(+oo) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx $
$ int_(1)^(+oo) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a)) dx = int_(1)^(+oo) 1/x^(2a) dx $ converge $ <=> a>1/2 $
$ int_(0)^(1) e^(-1/x)/(x^a(1+x^a))dx $ non capisco come comportarmi
ho pensato di fare così
$ 0<1/x<1 => 0<1/e^(1/x) < 1/e => 0<1/(e^(1/x)x^a(1+x^a)) < 1/(ex^a(1+x^a)) $ la "e" si puo anche togliere quindi devo studiare
$ 1/(e^(1/x)x^a(1+x^a)) < 1/(ex^a(1+x^a)) $ se dimostro che $ 1/(x^a(1+x^a)) $ converge, allora anche $ 1/(e^(1/x)x^a(1+x^a) $ converege...ma come si fa?
per $ 1/(x^a(1+x^a)) $ non riesco a ricondurmi a nessun integrale noto
Risposte
I punti dove l'integrale potrebbe "aver problemi" sono solo $0$ e $+\infty$:
In $0^+$ il limite della funzione è $0 AA \alpha \in \mathbb{R}$ e dunque non ci sono problemi.
In $+\infty$:
$$ f(x) \sim x^{-2\alpha}$$
e dunque converge se $2\alpha > 1 $ dunque $\alpha > 1/2$.
In $0^+$ il limite della funzione è $0 AA \alpha \in \mathbb{R}$ e dunque non ci sono problemi.
In $+\infty$:
$$ f(x) \sim x^{-2\alpha}$$
e dunque converge se $2\alpha > 1 $ dunque $\alpha > 1/2$.
ma se spezzo l'integrale la convergenza non deve valere per entrambe per poter valere a quella originale?
scusami potresti mostrarmi la risoluzione del limite?
grazie
scusami potresti mostrarmi la risoluzione del limite?
grazie
Prova a scrivere $x=1/t$ e considera che l'infinito esponenziale "vince" su tutto.
"Bremen000":
Prova a scrivere $x=1/t$ e considera che l'infinito esponenziale "vince" su tutto.
a ecco ora si grazie
ma per quanto riguarda il mio dubbio sulla convergenza dell'integrale? se A = B + C (dove A,B,C sono gli integrali di sopra)
A converge $ <=> $ B converge e C converge
C sappiamo che converge
mentre il lim di B è 0 (quindi potrebbe convergere) quindi si ritorna al problema di partenza
La condizione necessaria per la convergenza che citi (cioè che il limite faccia 0) è valida solo all'infinito!
Nel primo integrale stiamo integrando in un insieme limitato dove la funzione è limitata ergo è finito!
Spero sia chiaro!
Nel primo integrale stiamo integrando in un insieme limitato dove la funzione è limitata ergo è finito!
Spero sia chiaro!
questo perchè faccio tutto troppo meccanicamente
sei stato chiarissimo e gentilissimo
sei stato chiarissimo e gentilissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo