Convergenza integrale con ln

[Laura.appunti.2021]

Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
$ int_(0)^(1) [ln(e^x-x)]^-alpha dx $
Dove devo trovare i parametri per la quale converge.
Ora io avrei calcolato i rispettivi limiti:
$ lim_(x -> 1) [ln(e^x-x)]^-alpha $
$ lim_(x -> 1) [ln(e^1-1)]^-alpha $
$ lim_(x -> 1) 1/( [ln(e^1-1)]^alpha $
Dove il risultato è $ alpha >1$
Per il valore 0 invece
$ lim_(x -> 0) [ln(e^x-x)]^-alpha $
$ lim_(x -> 0) 1/( [ln(1)]^alpha $
Si ha anchesso che $alpha >1$ tuttavia non è possibile. Qualcuno può indicarmi dove sbaglio perfavore perché non capisco a quale integrale notevole devo fare riferimento per imporre la $alpha$.
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Dot.who,

Il problema è chiaramente nel punto $0$.
Procederei ricordando che $e^x = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^n}{n!} = 1 + x + x^2/2 + o(x^3) $, per cui si ha:

$e^x - x = 1 + x^2/2 + o(x^3) \implies ln(e^x - x) $ [tex]\sim[/tex] $ ln(1 + x^2/2) $ [tex]\sim[/tex] $ x^2/2 $

Perciò si ha:

$ int_(0)^(1) [ln(e^x-x)]^{-\alpha} dx = int_(0)^(1) frac{dx}{[ln(e^x-x)]^{\alpha}} $ [tex]\sim[/tex] $ int_(0)^(1) frac{dx}{(x^2/2)^{\alpha}} = 2^{\alpha} int_(0)^(1) frac{dx}{x^{2\alpha}} $

e l'ultimo integrale scritto converge per $2\alpha < 1 $, cioè per $\alpha < 1/2 $

[Laura.appunti.2021]

Grazie!! Non ci aavevo proprio pensato ad usare taylor!