Convergenza integrale con il modulo, al variare di $b$

[smaug1]

Calcola per quali valori di $b >= 0$ l'integrale converge:

$\int_0^oo \frac{|\sin (1 / (\sqrt{x}))|^b}{\sqrt{x} \log (1 + x^{1/3})}$

Ci sono problemi sia in $0$ che a $+ oo$

Per $x->0^+$ $f(x) \sim ??$

Grazie

[smaug1]

Ragazzi a $x->0^+$ il il seno è limitato $-1 <=\sin x<= +1 $ e quindi $f(x) \sim 1 / (x^{5/6})$ sempre convergente?

per $x->oo$ $f(x) \sim (1 / x^{b/2}) / (x^{1/2} \log (1 + x^{1/3})) \sim 1 / (x^{b/2 + 1/2} \log (1 + x^{1/3}))$

cioè converge quando $b>1$?

[ciampax]

Per $x\to 0^+$ hai ragionato correttamente. Ma per $x\to+\infty$ c'è quel logaritmo di cui devi tenere conto.

[smaug1]

non possiamo usare taylor...non saprei ciampax!

[ciampax]

Quello che sai è che per ogni $\alpha>0$ si ha $\lim_{x\to +\infty} {\log x}/{x^\alpha}=0$, pertanto $\log x=o(x^\alpha)$ per ogni $\alpha >0$. Cosa ne puoi dedurre?