Convergenza integrale $alpha$

[pierooooo]

studiare al variaree di $alpha$ la convergenza dell'integrale

$\int_{0}^{+oo} (6x^3+5x)/((1+x^3)^alpha(arctgx)^alpha) dx

come prima cosa spezzo l'integrale

$\int_{0}^{1} (6x^3+5x)/((1+x^3)^alpha(arctgx)^alpha) dx+ \int_{1}^{+oo} (6x^3+5x)/((1+x^3)^alpha(arctgx)^alpha) dx$

il secondo
$\int_{1}^{+oo} (6x^3+5x)/((1+x^3)^alpha(arctgx)^alpha) dx$

faccio il limite con $x->oo$ e ottengo praticamente $1/x^alpha$ e quindi $alpha>1$

il primo
$\int_{x}^{1} (6x^3+5x)/((1+x^3)^alpha(arctgx)^alpha) dx$

faccio tendere $x->0$ e praticamente ottengo $ x/(x^(3alpha)x^alpha) =1/(x^(4alpha-1))$
$4alpha-1>1 -> alpha>1/2$

quindi la soluzione è $alpha>1$ ovvero quando sono entrambi convergenti.

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Quante cose ho sbagliato?

[Raptorista1]

Ad infinito non è corretta la stima asintotica: fai attenzione agli esponenti della $x$!
Peraltro, quando hai studiato il secondo caso non sei cascato nello stesso errore

[pierooooo]

aspetta mi sa che ho fatto un errore peggiore...

$1/(x^(3(alpha-1)))$

$3alpha-3>1$

$alpha>4/3$

dunque la soluzione globale è $alpha>4/3$

va meglio?!

[Raptorista1]

Decisamente meglio!

[pierooooo]

fiuuu che sollievo!

(grazie)

[obelix23]

scusate per x che tende a 0 non è $ a > 2 $

[Bisneff]

"obelix23":scusate per x che tende a 0 non è $ a > 2 $

Non so, a me infatti mi sembra che non venga così.

Infatti a me viene $α < 2$ nell'integrale tra 0 e 1


Infatti:

$int_(0)^(1) (6x^3+5x)/((1+x^3)^α*(arctgx)^α) dx $

nel mio forse sbagliato matematichese si riduce a

$int_(0)^(1) (x(5 + o(x)))/(x^α(1+ o(x))) dx $
da cui

$int_(0)^(1) (1)/(x^(α-1);(1+ o(x))) dx $

e quindi
$ α-1<1 --> α < 2$

Da cui il risultato generale
$4/3 <α < 2$

Non so, posso aver sbagliato, se l'ho fatto vi prego di correggermi, perchè lo pongo più come un dubbio mio che come altro...

[pierooooo]

innanzitutto
$T(arctgx): x+o()$

[pierooooo]

poi $x^3/x^(3alpha)=1/(x^(3alpha-3))$

[Bisneff]

"pierooooo":poi $x^3/x^(3alpha)=1/(x^(3alpha-3))$

ma per x->0, $x^3$ mi sembra un o piccolo, rispetto ad x. Quindi lo stesso discorso dovrebbe valere tra $x^\alpha$ e $x^(3\alpha) AA \alpha$

o sbaglio?

[Raptorista1]

In $x = 0$ è giusta la correzione proposta, $(1 + x^3)$ non è infinitesimo e quindi non va considerato.
Chiedo scusa per la svista.

[obelix23]

ha ragione bisneff $ a < 2 $

[pierooooo]

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