Convergenza integrale al variare di un parametro

[Satiro]

Ho l'integrale

$ int_(-oo)^(+oo) (log(x^2))/|x^2+x-2|^adx $

Bisognerebbe valutare la funzione in zero, in 1 ,in -2 e ad infinito

Mi sono bloccato subito poiché non riesco a capire perché, per ogni valore di a, l'integrale converga in zero......

Io al massimo sono arrivato ad avere qualcosa del tipo $ klogx^2 $ forse ho frainteso completamente, ma in zero non dovrebbe andare a $-oo$ una cosa del genere? Io sono del parere che la funzione non sia integrabile su quell'intervallo
Grazie mille, scusate per l'ennesima banalità forse sto facendo confusione con ordini di infinito e di annullamento? Per esempio in -2,1 avrei detto che convergeva per a<1 poiché non è possibile che si annulli con un ordine inferiore ad 1 mentre per x che tende a $+-oo$ avrei detto per ogni valore di a>0 e quindi,in definitiva che $0
Ah dimenticavo di riportare che il risultato dovrebbe essere $1/2
Vorrei quindi capire perché in zero converge e perché viene a<2 al resto penso io..... Se....

[Quinzio]

Ok, il logaritmo va a $-oo$ ma c'è modo e modo. Alcune funzioni sono così lente a crescere che l'area del grafico sottesa, quindi l'integrale, è finita.

[Riccardo Desimini]

Prendi per esempio
\[ \int_0^c f(x)\, {\rm d}x \]
dove \( c > 0 \).

Per \( x \to 0^+ \) si ha
\[ f(x) \sim \frac{\log x}{2^{a-1}} \]
e questa funzione è infinita di ordine inferiore a \( \frac{1}{x^{\beta}} \) per ogni \( \beta > 0 \), cosa che ti garantisce la convergenza dell'integrale.

Un discorso perfettamente analogo si fa per l'integrale
\[ \int_{-c}^0 f(x)\, {\rm d}x \]

[Satiro]

Grazie per le risposte, non ho capito però l'ultima affermazione, cioè ok il logaritmo è lentissimo e quindi diverge molto più lentamente rispetto a quella frazione poiché x,almeno stando a quanto dice de l'hospital, dovrebbe andare a zero prima che il log diverga ma non capisco in che modo questo ne garantisca la convergenza
Forse intendi che , siccome $ logx< < 1/x^a $ come ordine di infinito per ogni $a>0$ di conseguenza $logx$ sarà un infinito di ordine addirittura inferiore a zero e quindi sicuramente convergente? Spero sia così perché questa considerazione ha prosciugato le mie,già irrisorie, risorse mentali

Resta inoltre il problema legato al fatto che,nella soluzione, $a<2$

[Riccardo Desimini]

Occhio, l'ordine zero non esiste.

Il discorso è che l'ordine di infinito del logaritmo (che sempre e comunque è un numero strettamente positivo) è inferiore a quello di qualsiasi potenza, quindi anche di \( 1 \), cosa che garantisce la convergenza dell'integrale.

[Satiro]

Mmmm però non è che la cosa mi sconfinferi molto, in pratica ogni volta che vedrò un logx con x che tende a zero da destra dovrò dire che converge sicuramente almeno parlando di integrali poiché è sicuramente un infinito di ordine <1, diciamo quindi che per ora potrei capire perché converga se $1/2

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[Riccardo Desimini]

Curioso, anche mio fratello sta preparando Analisi 1 su quell'eserciziario.

Sei per caso uno studente del Politecnico di Milano?

Ho cercato nell'eserciziario l'esercizio che hai proposto, ma non l'ho trovato. A che pagina è?

Comunque ho fatto un po' di conti e mi sembra che in realtà tu abbia ragione, cioè che l'intervallo giusto sia \( \frac{1}{2} < a < 1 \).

Sarebbe d'aiuto se intervenisse anche qualcun altro.

Per quanto riguarda quello che ti ho detto sopra, in realtà hai ragione tu: non posso applicare il criterio dell'ordine di infinito perché il logaritmo non ammette ordine.

In ogni caso, è giusto che l'integrale converga per ogni \( a \in \mathbb{R} \) intorno a \( x = 0 \).

[Satiro]

Si anche io vado al politecnico! Anche se a quanto ho capito,secondo me sfortunatamente, in molte facoltà di ingegneria, purtroppo non fa parte dell'eserciziario,è preso da una vecchia prova, l'eserciziario da questo punto di vista un po' pecca, forse sono io ma sempre secondo me sono a un livello leggermente inferiore come esercizi rispetto a quelli delle prove d'esame

Secondo me invece per il logaritmo hai ragione, ho trovato in un altra prova, a fondo pagina la stessa nota cioè "klogx converge per ogni a>0 "

[Riccardo Desimini]

"Satiro":Si anche io vado al politecnico!

Ingegneria Elettronica?

"Satiro":Secondo me invece per il logaritmo hai ragione, ho trovato in un altra prova, a fondo pagina la stessa nota cioè "klogx converge per ogni a>0 "

Beh, certo che converge. Infatti, se \( b > 0 \)
\[ \int_0^b k \ln x\, {\rm d}x = \lim_{a \to 0^+} \int_a^b k \ln x\, {\rm d}x = \lim_{a \to 0^+} \left. kx\, (\ln x - 1) \right |_a^b = kb\, (\ln b - 1) \]
Ma se consideri l'integrale
\[ \int_a^{+\infty} \frac{1}{x \ln x}\, {\rm d}x \]
dove \( a > 1 \), vedi che non converge (basta fare un calcolo esplicito per vederlo), tuttavia l'integranda per \( x \to +\infty \) è infinitesima di ordine superiore al primo. Se io avessi ragione, questa informazione mi porterebbe a dire che l'integrale converge, quando in realtà non è così.

Ora ti è chiaro perché sbagliavo?