Convergenza integrale

[Mito125]

Devo determinare per quali valori di $alpha$ converge l'integrale generalizzato:

$ int_(0)^(+oo) log x/(1+x^alpha) dx $

Io procedo così per $x -> +oo$

$log x/(1+x^alpha) \leq x^epsilon/x^alpha \leq 1/(x^(alpha-epsilon)) -> alpha-epsilon>1 ->alpha>1+psilon$ con $epsilon$ piccolo a piacere.

Però non so quale sia la forma corretta per scriverlo... E non so come procedere per $x->0$

[Mito125]

Up...

[gugo82]

Stai dicendo che l'integrale converge intorno a [tex]$+\infty$[/tex] se [tex]$\alpha$[/tex] è maggiore di qualche numero maggiore di [tex]$1$[/tex] (occhio, che [tex]$\varepsilon$[/tex] cambia segno quando lo porti al secondo membro); ergo c'è convergenza intorno a [tex]$+\infty$[/tex] per [tex]$\alpha >1$[/tex].
Che ci sia divergenza intorno a [tex]$+\infty$[/tex] per [tex]$0\leq \alpha <1$[/tex] è altrettanto evidente.

Rimane da vedere che succede intorno a [tex]$0$[/tex].

[Mito125]

Io proprio per x che tende a zero non so farlo... Mi viene questo dubbio... Il logaritmo per $x->0$ va velocemente a $-oo$... Solo che $x^alpha$ non so come giudicarla... Perchè se $alpha<1$ convergerebbe... Ma quel $logx$ mi crea confusione...