Convergenza integrale
Ciao a tutti. Devo stabilire se i seguenti integrali convergono o no.
1)$int_(0)^(oo)(e^(-x))/(ln(1+sqrtx))$. La funzione è continua nell'intervallo in cui devo calcolare l'integrale quindi prendo un $yin]0;+oo[$ tale che $ lim_(y -> +oo) int_(0)^(y)(e^(-x))/(ln(1+sqrtx)) $. A questo punto che potrei fare? Ho provato con le equivalenze asintotiche e $ ln(1+sqrtx)~_(+oo)ln(sqrtx)$.
Ora posso dire che è divergente perchè $e^(-x)$ è infinito di ordine superiore rispetto a $lnsqrtx$?
Se volessi calcolare l'integrale che dovrei fare?
2)$int_(0)^(oo)1/(ln(1+sqrtx))arctan((2pi)/(x^2e^x))$ ragazzi scusate ma non ricordo bene quale fosse l'argomento dell'arctan ma era molto simile a quello. L'unica cosa che potrebbe essere diversa è che l'esponente di $e$ non ricordo se era $-x$.
Comunque in questo caso come procedo? Io ho pensato di fare come sopra ottendendo quindi $1/ln(sqrtx)$ e essendo $arctan((2pi)/(x^2e^x))~_(+oo)(2pi)/(x^2e^x)$ ottengo per $x->+oo)$ la quantità $0(2pi)/(x^2e^x)$ quindi che fa converge?
Dinuovo, se volessi calcolarlo cosa potrei fare?
Grazie anticipatamente per le risposte.
1)$int_(0)^(oo)(e^(-x))/(ln(1+sqrtx))$. La funzione è continua nell'intervallo in cui devo calcolare l'integrale quindi prendo un $yin]0;+oo[$ tale che $ lim_(y -> +oo) int_(0)^(y)(e^(-x))/(ln(1+sqrtx)) $. A questo punto che potrei fare? Ho provato con le equivalenze asintotiche e $ ln(1+sqrtx)~_(+oo)ln(sqrtx)$.
Ora posso dire che è divergente perchè $e^(-x)$ è infinito di ordine superiore rispetto a $lnsqrtx$?
Se volessi calcolare l'integrale che dovrei fare?
2)$int_(0)^(oo)1/(ln(1+sqrtx))arctan((2pi)/(x^2e^x))$ ragazzi scusate ma non ricordo bene quale fosse l'argomento dell'arctan ma era molto simile a quello. L'unica cosa che potrebbe essere diversa è che l'esponente di $e$ non ricordo se era $-x$.
Comunque in questo caso come procedo? Io ho pensato di fare come sopra ottendendo quindi $1/ln(sqrtx)$ e essendo $arctan((2pi)/(x^2e^x))~_(+oo)(2pi)/(x^2e^x)$ ottengo per $x->+oo)$ la quantità $0(2pi)/(x^2e^x)$ quindi che fa converge?
Dinuovo, se volessi calcolarlo cosa potrei fare?
Grazie anticipatamente per le risposte.
Risposte
Resto in attesa di vostre risposte. Ciao 
Se vuoi risolvere l'integrale io proverei con un'integrazione per parti... Stai studiando Analisi 1?
Si. Ho già fatto una volta l'esame scritto ma non sono passato per poco e quindi mi sto ripreparando bene per il prossimo. Comunque la convergenza degli integrali è giusta o no?
Onestamente non conoscevo il metodo che tu hai usato, ti consiglio di vedere quì dato che è stato spiegato piuttosto bene....
In bocca al lupo per il tuo esame
In bocca al lupo per il tuo esame
Quel metodo è lo stesso che ha usato dissonance nel post che mi hai consigliato di guardare. Tu devi studiare la funzione integranda tamite le equivalenze se puoi e stabilire se la funzione integranda converge o no. Se converge allora converge anche l'integrale. Poi puoi anche calcolarlo se vuoi con opportune sostituzioni ecc...
Si infatti ti ho consigliato di leggere quel post dato che dissonance lo ha spiegato parecchio bene. Io non posso dirti se come hai fatto è corretto o meno dato che questo metodo non mi è molto chiaro... 
Ah ok grazie lo stesso. Comunque, se ti va potresti parlarmi del metodo che usi tu? Magari mi può essere molto utile
1) La funzione integranda $f(x)$ è continua e positiva su $(0,+\infty)$.
Spezziamo in due l'integrale di partenza (tecnicamente si dice "ti spiezzo in due...") e consideriamo i due integrali generalizzati
$\int_0^4 f(x) dx$, $\int_4^{+\infty} f(x) dx$; il primo ha problemi in un intorno destro dell'origine, poiché $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$,
mentre nel secondo la funzione è limitata ma su un dominio illimitato.
Per il primo integrale hai che $f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ per $x\to 0^+$, quindi l'integrale converge (confronto asintotico).
Per il secondo integrale hai che $0\le f(x) \le \frac{e^{-x}}{\log(1+\sqrt{4})} < e^{-x}$ per ogni $x\ge 4$, quindi anche questo integrale converge per il criterio del confronto.
Spezziamo in due l'integrale di partenza (tecnicamente si dice "ti spiezzo in due...") e consideriamo i due integrali generalizzati
$\int_0^4 f(x) dx$, $\int_4^{+\infty} f(x) dx$; il primo ha problemi in un intorno destro dell'origine, poiché $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$,
mentre nel secondo la funzione è limitata ma su un dominio illimitato.
Per il primo integrale hai che $f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ per $x\to 0^+$, quindi l'integrale converge (confronto asintotico).
Per il secondo integrale hai che $0\le f(x) \le \frac{e^{-x}}{\log(1+\sqrt{4})} < e^{-x}$ per ogni $x\ge 4$, quindi anche questo integrale converge per il criterio del confronto.
Io dopo aver risolto l'integrale e aver calcolato il lim dico che se questo è finito allora l'integrale è convergente, se è $oo$ è divergente.
Fin'ora diciamo che sono stata fortunata ed ho trovato esercizi nei quali era possibile calcolare la primitiva...
Fin'ora diciamo che sono stata fortunata ed ho trovato esercizi nei quali era possibile calcolare la primitiva...
@samy21: Si questo è il metodo giusto però molte volte può essere veramente difficile calcolare l'integrale quindi è meglio usare il metodo delle equivalenze o degli o-piccoli o qualcosa del genere così ci semplifichiamo la vita. Infatti in quasi tutti gli esercizi degli esami che ho visto viene richiesto solo di stabilire la convergenza ma non di calcolarlo.
@rigel: Perchè prendi proprio il $4$? Perchè spezzi in due l'integrale? Da dove ti esce fuori $f(x)~1/(sqrtx)$? Da quanto ne so io dovrebbe venire un integrale convergente e uno divergente
Comunque grazie per le risposte.
@rigel: Perchè prendi proprio il $4$? Perchè spezzi in due l'integrale? Da dove ti esce fuori $f(x)~1/(sqrtx)$? Da quanto ne so io dovrebbe venire un integrale convergente e uno divergente
Comunque grazie per le risposte.
Resto in attesa di altre spiegazioni.
Puoi prendere un numero qualsiasi $a\in (0,+\infty)$ e scrivere l'integrale come somma di $\int_0^a$ e $\int_a^{+\infty}$.
Questa operazione la fai per trattare un solo problema alla volta.
Cosa vuol dire "problema"?
Tu sai che gli integrali generalizzati più semplici, e quindi più facilmente trattabili, si definiscono per due categorie di funzioni:
1) funzioni $f: (a,b]\to RR$, oppure $f: [a,b)\to RR$, continue ma non limitate; nel primo caso devi vedere se esiste finito
$\lim_{c\to a^+} \int_c^b f(x) dx$, nel secondo caso $\lim_{c\to b^-} \int_a^c f(x) dx$;
2) funzioni $f:[a, +\infty)\to RR$ continue; in tal caso devi vedere se esiste finito $\lim_{c\to +\infty} \int_a^c f(x) dx$.
(Naturalmente queste sono le situazioni più semplici, ma che capitano più spesso negli esercizi; in generale non c'è bisogno della continuità.)
Nel caso del tuo esercizio si combinano due di questi problemi: la funzione è definita su tutta una semiretta, ed è anche illimitata in un intorno destro dell'origine.
Spezzando l'integrale ti riconduci a due integrali, dei quali il primo rientra nel caso 1) e il secondo nel caso 2).
Questa operazione la fai per trattare un solo problema alla volta.
Cosa vuol dire "problema"?
Tu sai che gli integrali generalizzati più semplici, e quindi più facilmente trattabili, si definiscono per due categorie di funzioni:
1) funzioni $f: (a,b]\to RR$, oppure $f: [a,b)\to RR$, continue ma non limitate; nel primo caso devi vedere se esiste finito
$\lim_{c\to a^+} \int_c^b f(x) dx$, nel secondo caso $\lim_{c\to b^-} \int_a^c f(x) dx$;
2) funzioni $f:[a, +\infty)\to RR$ continue; in tal caso devi vedere se esiste finito $\lim_{c\to +\infty} \int_a^c f(x) dx$.
(Naturalmente queste sono le situazioni più semplici, ma che capitano più spesso negli esercizi; in generale non c'è bisogno della continuità.)
Nel caso del tuo esercizio si combinano due di questi problemi: la funzione è definita su tutta una semiretta, ed è anche illimitata in un intorno destro dell'origine.
Spezzando l'integrale ti riconduci a due integrali, dei quali il primo rientra nel caso 1) e il secondo nel caso 2).
Grazie per la spiegazione. Ma come fai ad avere $f(x)~1/(sqrtx)$? Con primo integrale a quale ti riferisci?
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