Convergenza Integrale
studiare la convergenza dell'integrale al variare $alpha>=0$
$int_0^oo e^-x *|sinx|^alpha *(logx)^2 dx$
Vi ringrazio per l'aiuto
Ps:ringrazio camillo e luca per l'edit
$int_0^oo e^-x *|sinx|^alpha *(logx)^2 dx$
Vi ringrazio per l'aiuto
Ps:ringrazio camillo e luca per l'edit
Risposte
Per gli estremi di integrazione fai così
$ int_a^b f(x)dx $ .
$ int_a^b f(x)dx $ .
Perché l'integrale converga la funzione integranda f(x) deve:
1) Avere per $x-->0$ un ordine di infinito minore di un numero minore di 1 (cioè $lim_(x->0)x^a/f(x) =oo$ per qualche a<1). Questa condizione senz'altro è soddisfatta sempre da f(x) in quanto si ha: $lim_(x->0)x^a/(e^-x |sin x|^alpha (log x)^2)=lim_(x->0)x^a/(|sin x|^alpha (log x)^2)>=lim_(x->0)x^a/((log x)^2)=0$ qualunque sia a per 0
2) Avere per $x-->oo$ ordine di infinitesimo maggiore di un numero maggiore di 1... (da completare)
1) Avere per $x-->0$ un ordine di infinito minore di un numero minore di 1 (cioè $lim_(x->0)x^a/f(x) =oo$ per qualche a<1). Questa condizione senz'altro è soddisfatta sempre da f(x) in quanto si ha: $lim_(x->0)x^a/(e^-x |sin x|^alpha (log x)^2)=lim_(x->0)x^a/(|sin x|^alpha (log x)^2)>=lim_(x->0)x^a/((log x)^2)=0$ qualunque sia a per 0
2) Avere per $x-->oo$ ordine di infinitesimo maggiore di un numero maggiore di 1... (da completare)
Semplice richiesta di chiarimento: data la funzione...
$phi(alpha)=int_0^(+oo) e^(-x)*|sin x|^alpha*ln^2 x*dx$ (1)
... si vogliono conoscere i limiti $lim_(alpha->0+) phi(alpha)$ e $lim_(alpha->0-) phi(alpha)$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$phi(alpha)=int_0^(+oo) e^(-x)*|sin x|^alpha*ln^2 x*dx$ (1)
... si vogliono conoscere i limiti $lim_(alpha->0+) phi(alpha)$ e $lim_(alpha->0-) phi(alpha)$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non credo che l'esercizio sia questo: si vuole sapere per quali valori di $\alpha \ge 0$ quell'integrale converge nel senso degli integrali impropri.
Benissimo... in tal caso mi permetto di dare un piccolo 'suggerimento'. Dalla ovvia relazione...
$|sin x|^alpha<= x^alpha$, $x>=0$, $alpha>=0$ (1)
... si deduce che l'integrale dato converge se converge il seguente integrale...
$gamma^((2)) (alpha)= int_0^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx$ (2)
Il motivo per cui ho indicato la (2) con la notazione $gamma^((2))$ sarà chiaro più avanti, quando [eventualmente...] interverrò di nuovo su questa interessantisima questione...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$|sin x|^alpha<= x^alpha$, $x>=0$, $alpha>=0$ (1)
... si deduce che l'integrale dato converge se converge il seguente integrale...
$gamma^((2)) (alpha)= int_0^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx$ (2)
Il motivo per cui ho indicato la (2) con la notazione $gamma^((2))$ sarà chiaro più avanti, quando [eventualmente...] interverrò di nuovo su questa interessantisima questione...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"zorn":
Perché l'integrale converga la funzione integranda f(x) deve:
1) Avere per $x-->0$ un ordine di infinito minore di un numero minore di 1
Perchè è vero ciò?
Edito:e qndi per $x->0$ l'integrale converge per ogni $alpha$?
Risp a lupo grigio:
Quindi se (2) converge allora converge anche l'integrale di partenza per il criterio del confronto.
Però ora mi ritrovo,anche se con una funzione più semplice,sempre al pto di partenza e cioè: qnd converge qst integrale?Nn mi sembra abbia una primitiva banale,qndi cm procedo?
Il mio problema è che non ho ben chiare le "strategie" per poter controllare se un integrale converge oppure no...aiutatemi
Quindi se (2) converge allora converge anche l'integrale di partenza per il criterio del confronto.
Però ora mi ritrovo,anche se con una funzione più semplice,sempre al pto di partenza e cioè: qnd converge qst integrale?Nn mi sembra abbia una primitiva banale,qndi cm procedo?
Il mio problema è che non ho ben chiare le "strategie" per poter controllare se un integrale converge oppure no...aiutatemi
Molto bene!... vediamo dunque di concentrarci sul nuovo integrale. Per affrontare un nemico alla volta [buona norma per chi come me è di 'mentalità militare' 
...] forse conviene scriverlo come...
$int_0^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx=int_0^1 e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx + int_1^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx$ (1)
... ed esaminare separatamente la convergenza dei due termini...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
...] forse conviene scriverlo come... $int_0^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx=int_0^1 e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx + int_1^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2 x*dx$ (1)
... ed esaminare separatamente la convergenza dei due termini...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Adesso studio il primo integrale in 0 e viene $x^alpha*logx$
e diverge per ogni scelta di $alpha$?
Ps:ma cm si fà il per ogni??
e diverge per ogni scelta di $alpha$?
Ps:ma cm si fà il per ogni??
Allora... il primo integrale è...
$int_0^1 e^(-x)*x^alpha*ln^2x*dx$ (1)
Siccome per $0<=x<=1$ è $|e^(-x)|<=1$ per ogni $alpha>=0$ è $|x^alpha|<=1$ proviamo ad esaminare se per caso converge l'integrale...
$int_0^1 ln^2 x*dx$ (2)
Integrando una prima volta per parti si ha...
$int ln^2 x*dx= x*ln^2x - 2*int ln x*dx+c$ (3)
Integrando un'altra volta per parti si ha...
$int ln^2 x*dx= x*ln^2 x-2*x*ln x+2*x+c$ (4)
Tenendo a mente che applicando la regola dell'Hopital si trova che è per ogni $n$...
$lim_(x->0) x*ln^n x=0$ (5)
... risulta alla fine...
$int_0^1 ln^2 x*dx=2$ (6)
Il primo integrale dunque converge...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int_0^1 e^(-x)*x^alpha*ln^2x*dx$ (1)
Siccome per $0<=x<=1$ è $|e^(-x)|<=1$ per ogni $alpha>=0$ è $|x^alpha|<=1$ proviamo ad esaminare se per caso converge l'integrale...
$int_0^1 ln^2 x*dx$ (2)
Integrando una prima volta per parti si ha...
$int ln^2 x*dx= x*ln^2x - 2*int ln x*dx+c$ (3)
Integrando un'altra volta per parti si ha...
$int ln^2 x*dx= x*ln^2 x-2*x*ln x+2*x+c$ (4)
Tenendo a mente che applicando la regola dell'Hopital si trova che è per ogni $n$...
$lim_(x->0) x*ln^n x=0$ (5)
... risulta alla fine...
$int_0^1 ln^2 x*dx=2$ (6)
Il primo integrale dunque converge...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Scusa la mia testa dura...
Non capisco perchè puoi eliminare $e^-x$ ed $x^alpha$?
Dal pto (2) in poi concordo pienamente
Non capisco perchè puoi eliminare $e^-x$ ed $x^alpha$?
Dal pto (2) in poi concordo pienamente
Per $0<=x<=1$ e $alpha>=0$ è...
$|e^(-x)|<=1$
$|x^(alpha)|<=1$ (1)
Pertanto sarà anche $|e^(-x)*x^alpha*ln^2x|<=|ln^2x|$. Pertanto se l'integrale...
$int_0^1 ln^2x*dx$ (2)
... converge, convergerà anche l'integrale...
$int_0^1 e^(-x)*x^alpha*ln^2x*dx$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$|e^(-x)|<=1$
$|x^(alpha)|<=1$ (1)
Pertanto sarà anche $|e^(-x)*x^alpha*ln^2x|<=|ln^2x|$. Pertanto se l'integrale...
$int_0^1 ln^2x*dx$ (2)
... converge, convergerà anche l'integrale...
$int_0^1 e^(-x)*x^alpha*ln^2x*dx$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Mi ero perso il confornto!
Allora vediamo se riesco a fare il 2°
Se $x>=1$ allora $1/e^x<=1$ e $log^2x<=x^2$ quindi
$int^oo_1e^x*x^alpha*log^2x dx <= int^oo_1x^(alpha+2)$
Che converge per $alpha<-3$?
Allora vediamo se riesco a fare il 2°
Se $x>=1$ allora $1/e^x<=1$ e $log^2x<=x^2$ quindi
$int^oo_1e^x*x^alpha*log^2x dx <= int^oo_1x^(alpha+2)$
Che converge per $alpha<-3$?
Ehm!… purtroppo il termine $e^(-x)$ è indispensabile a stabilire la [eventuale] convergenza dell’integrale e non lo si può ‘eludere’ come fai tu…
L’integrale di cui si deve stabilire la [eventuale] convergenza per $alpha>=0$ è il seguente…
$int_1^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2x*dx$ (1)
E’ evidente che la ‘criticità’ è data dal comportamento della funzione sotto il segno di integrale per $x->+oo$. Un criterio ‘comodo’ di maggiorazione di questa funzione [tra gli altri…] è il seguente. Indichiamo con $n$ il minimo intero positivo per cui è $n>alpha$ e calcoliamo il seguente limite…
$lim_(x->+oo) x^n/(x^alpha*ln^2x)= (x^(n-alpha))/(ln^2 x)$ (2)
Applicando la regola dell’Hopital si trova che tale limite è $+oo$ e pertanto da un certo $x_0$ in poi sarà certamente…
$x^n>x^alpha*ln^2x$ (3)
Stando così le cose possiamo dire che l’integrale (1) converge se converge l’integrale…
$int_1^(+oo) e^(-x)*x^n*dx$ (4)
Integrando la (4) per parti una volta si ottiene…
$int e^(-x)*x^n*dx= -e^(-x)*x^n +n*int e^(-x)*x^(n-1)*dx$ (5)
Integrando $n$ volte per parti si ottiene…
$int e^(-x)*x^n*dx= -e^(-x) [x^n+n*x^(n-1)+n*(n-1)*x^(n-2)+…+n*(n-1)*…*2*x+n!]+c$ (6)
Dal momento che per qualunque intero $n$ è…
$lim_(x->+oo) e^(-x)*x^n=0$ (6)
… è abbastanza agevole verificare che è…
$int_1^(+oo) e^(-x)*x^n*dx= (n!)/e$ (7)
L’integrale (4) dunque converge e in definitiva possiamo concludere [dopo non poche fatiche in vero…] che l’integrale propostoci da DuxDjo converge per ogni $alpha>=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
L’integrale di cui si deve stabilire la [eventuale] convergenza per $alpha>=0$ è il seguente…
$int_1^(+oo) e^(-x)*x^alpha*ln^2x*dx$ (1)
E’ evidente che la ‘criticità’ è data dal comportamento della funzione sotto il segno di integrale per $x->+oo$. Un criterio ‘comodo’ di maggiorazione di questa funzione [tra gli altri…] è il seguente. Indichiamo con $n$ il minimo intero positivo per cui è $n>alpha$ e calcoliamo il seguente limite…
$lim_(x->+oo) x^n/(x^alpha*ln^2x)= (x^(n-alpha))/(ln^2 x)$ (2)
Applicando la regola dell’Hopital si trova che tale limite è $+oo$ e pertanto da un certo $x_0$ in poi sarà certamente…
$x^n>x^alpha*ln^2x$ (3)
Stando così le cose possiamo dire che l’integrale (1) converge se converge l’integrale…
$int_1^(+oo) e^(-x)*x^n*dx$ (4)
Integrando la (4) per parti una volta si ottiene…
$int e^(-x)*x^n*dx= -e^(-x)*x^n +n*int e^(-x)*x^(n-1)*dx$ (5)
Integrando $n$ volte per parti si ottiene…
$int e^(-x)*x^n*dx= -e^(-x) [x^n+n*x^(n-1)+n*(n-1)*x^(n-2)+…+n*(n-1)*…*2*x+n!]+c$ (6)
Dal momento che per qualunque intero $n$ è…
$lim_(x->+oo) e^(-x)*x^n=0$ (6)
… è abbastanza agevole verificare che è…
$int_1^(+oo) e^(-x)*x^n*dx= (n!)/e$ (7)
L’integrale (4) dunque converge e in definitiva possiamo concludere [dopo non poche fatiche in vero…] che l’integrale propostoci da DuxDjo converge per ogni $alpha>=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
zorn ha scritto:
Perché l'integrale converga la funzione integranda f(x) deve:
1) Avere per x-→0 un ordine di infinito minore di un numero minore di 1
Perchè è vero ciò?
Edito:e qndi per x→0 l'integrale converge per ogni α?
Certo è il criterio di convergenza degli integrali impropri. Sì credo che converge per ogni $alpha$, col limite che ho svolto sei d'accordo?
Mi sembra abbastanza facile da applicare il criterio, tutto sta nel fatto che $|sin x|^alpha <=1$, analogamente lo applichi anche per $x-->oo$
Perché l'integrale converga la funzione integranda f(x) deve:
1) Avere per x-→0 un ordine di infinito minore di un numero minore di 1
Perchè è vero ciò?
Edito:e qndi per x→0 l'integrale converge per ogni α?
Certo è il criterio di convergenza degli integrali impropri. Sì credo che converge per ogni $alpha$, col limite che ho svolto sei d'accordo?
Mi sembra abbastanza facile da applicare il criterio, tutto sta nel fatto che $|sin x|^alpha <=1$, analogamente lo applichi anche per $x-->oo$
Se invece $alpha$ potesse essere negativo le cose non sarebbero così semplici perché non saprei controllare $|sin x|^alpha$
Ora che, bene o male, al quesito di DuxDjo si è data risposta, riesaminiamo un poco l’integrale ‘maggiorante’ rispetto all’integrale originario…
$gamma^((2)) (alpha)= int_0^(+oo) e^(-x)*x^(alpha)*ln^2x*dx$ (1)
Il quesito che propongo è rivolto, diciamo così, ai più ‘esperti’: determinare $gamma^((2)) (0)$, vale a dire l’integrale…
$int_0^(+oo) e^(-x)*ln^2 x*dx$ (2)
Chi scrive conosce il valore numerico dell’integrale per ‘altre vie’ ma non è riuscito [finora…] a trovare un preciso procedimento per arrivarci…
cordiali saluti
lupo grigio
… chè perder tempo a chi più sa più spiace… Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$gamma^((2)) (alpha)= int_0^(+oo) e^(-x)*x^(alpha)*ln^2x*dx$ (1)
Il quesito che propongo è rivolto, diciamo così, ai più ‘esperti’: determinare $gamma^((2)) (0)$, vale a dire l’integrale…
$int_0^(+oo) e^(-x)*ln^2 x*dx$ (2)
Chi scrive conosce il valore numerico dell’integrale per ‘altre vie’ ma non è riuscito [finora…] a trovare un preciso procedimento per arrivarci…
cordiali saluti
lupo grigio
… chè perder tempo a chi più sa più spiace… Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Ringrazio tutti per la gentile collaborazione
ciao...
sono curioso di sapere come si risolve l'integrale che hai proposto
sono curioso di sapere come si risolve l'integrale che hai proposto
Nel caso che Cantaro86 si riferisse a me e alla 'soluzione' dell'integrale...
$int_0^(+oo) e^(-t)*ln^2 t*dt$ (1)
... sono davvero dispiaciuto di non poter soddisfare [al momento...] la sua 'curiosità'. Si dà il caso infatti che conosco il valore numerico dell'integrale (1) 'per via traversa' e non conosco [ancora...] la maniera per arrivarci...
Dal momento che il problema ha implicazioni abbastanza 'importanti' e la cosa può decisamente 'interessare' si può all'occorenza aprire un thread apposito...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sà più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$int_0^(+oo) e^(-t)*ln^2 t*dt$ (1)
... sono davvero dispiaciuto di non poter soddisfare [al momento...] la sua 'curiosità'. Si dà il caso infatti che conosco il valore numerico dell'integrale (1) 'per via traversa' e non conosco [ancora...] la maniera per arrivarci...
Dal momento che il problema ha implicazioni abbastanza 'importanti' e la cosa può decisamente 'interessare' si può all'occorenza aprire un thread apposito...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sà più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
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