Convergenza integrale
Salve a tutti. Sto provando a studiare la convergenza dell'integrale improprio
$$ \int_1^{+\infty} \Bigg( \frac{x \log x}{x^2+1} \Bigg) ^p dx $$
al variare di $p \geq 1$. Poiché l'andamento asintotico a $+\infty$ della funzione integranda è pari a quello della funzione
$$ g(x)= \Bigg ( \frac{\log x}{x} \Bigg)^p, $$
mi sono ridotto quindi a studiare l'integrale
$$ \int_1^{+\infty} \Bigg ( \frac{\log x}{x} \Bigg)^p dx. $$
Con la sostituzione $x=e^t$ risulta
$$ \int_0^{+\infty} t^p e^{(1-p)t} dt. $$
A questo punto come posso procedere? Chiaramente se $p=1$ l'integrale diverge. Per $p>1$ l'argomento dell'esponenziale è negativo, come posso concludere che c'è quindi convergenza? Che criterio posso usare?
Grazie a tutti per l'attenzione.
$$ \int_1^{+\infty} \Bigg( \frac{x \log x}{x^2+1} \Bigg) ^p dx $$
al variare di $p \geq 1$. Poiché l'andamento asintotico a $+\infty$ della funzione integranda è pari a quello della funzione
$$ g(x)= \Bigg ( \frac{\log x}{x} \Bigg)^p, $$
mi sono ridotto quindi a studiare l'integrale
$$ \int_1^{+\infty} \Bigg ( \frac{\log x}{x} \Bigg)^p dx. $$
Con la sostituzione $x=e^t$ risulta
$$ \int_0^{+\infty} t^p e^{(1-p)t} dt. $$
A questo punto come posso procedere? Chiaramente se $p=1$ l'integrale diverge. Per $p>1$ l'argomento dell'esponenziale è negativo, come posso concludere che c'è quindi convergenza? Che criterio posso usare?
Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
Ciao, non c'è bisogno di quella sostituzione: \[\displaystyle g(x)=\left(\frac{\log x}{x}\right)^p=\frac{1}{x^p\log^{-p}x} \] che puoi confrontare con l'integrale notevole 
Grazie mille, anche se mi sarebbe piaciuto risolverlo a mano, senza ricordare gli integrali notevoli.
Cosa vorresti dire con "farlo a mano"? Il $99,9%$ degli integrali impropri si fa proprio riconducendosi agli integrali notevoli.
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