Convergenza Integrale

[liberatorimatteo]

Ciao a tutti, sto cercando di studiare la convergenza di questo integrale che è spesso molto utile da utilizzare per determinare la convergenza di altri integrali attraverso il confronto...

$\int_{2}^{+\infty} dx/(x^(a) (ln(x))^(b)$

Allora... io ho fatto così:

$\int_{2}^{+\infty} dx/(x^(a) (ln(x))^(b)) = \int_{2}^{e} dx/(x^(a) (ln(x))^(b)) + \int_{e}^{+\infty} dx/(x^(a) (ln(x))^(b))$

Innanzitutto $\int_{2}^{e} dx/(x^(a) (ln(x))^(b))$ converge perché è $f(x)$ è continua su un compatto. Ora faccio i vari casi

se $a>1$ allora $\int_{e}^{+\infty} dx/(x^(a) (ln(x))^(b))<=\int_{e}^{+\infty} dx/(x^(a)) = e^(1-a)/(a-1)$ quindi converge $\forall b\in \mathbb(R)$
se $a=1$ allora $\int_{e}^{+\infty} dx/(x (ln(x))^(b))=\int_{1}^{+\infty} e^t/(e^t (t)^(b)) dt = \int_{1}^{+\infty} dt/(t^(b)$ che converge per $b>1$
se $a<1$ allora $\int_{e}^{+\infty} dx/(x^(a) (ln(x))^(b))>=\int_{e}^{+\infty} dx/(x (ln(x))^(b))$ che diverge per $b<=1$ [/list:u:2n0zlpka]

Ora però non so come determinare la convergenza nel caso $a<1 \wedge b>1$ (già so che diverge ma non so dimostrarlo)

[spugna2]

Se $a<1$ e $b>1$, allora $(1-a)/(2b)>0$ e $ln(x)

Cita

Segnala

[donald_zeka]

criterio del confronto asintotico: se esiste $alpha in ]0,1]$ tale che $f$ sia un infinitesimo minore di $alpha$ rispetto a $1/x$ per x che tende a infinito, allora l'integrale di f diverge. Ovviamente basta farsi furbi e prendere $alpha=a$

[liberatorimatteo]

Grazie ad entrambi, ma non ho capito il commento di Vulplasir... sono poco abituato a parlare a parole xD cosa intendi con "tale che $f$ sia un infinitesimo minore di $alpha$ rispetto a $1/x$ per x che tende a infinito"? Potresti scrivermelo con i limiti?

[donald_zeka]

No, ho sbagliato. La definizione è quella, ma bisogna prendere $alpha=1$

f sia un infinitesimo di ordine inferiore ad alpha rispetto a 1/x significa che $f/(1/x)^alpha=+oo$ per x->+oo, ossia significa che $(1/x)^alpha$ tende a zero più velocemente di f, ossia f è un infinitesimo di ordine inferiore ad $alpha$

Nel tuo caso basta prendere $alpha=1$, quindi:

$(1/(x^aln^bx))/(1/x)=x/(x^aln^bx)=x^(1-a)/ln^bx$

Essendo $a<1$, allora 1-a>0, e sapendo che il logaritmo di x, in qualsiasi potenza maggiore di zero è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza maggiore di zero di x allora il limite per x che tende a infinito di $x^(1-a)/ln^bx$ fa +inifnito, e per quanto detto prima, significa che $1/(x^aln^bx)$ è un infinitesimo di ordine inferiore a 1, si verifica quindi quel teorema e quindi l'integale diverge.

[liberatorimatteo]

Grazie, io conoscevo questa proposizione per il confronto asintotico:

Siano $f,g:[a,+\infty)-> mathbb(R)$ due funzioni integrabili in $[a,t] \forall t>a$ tali che $f(x)>=0$ e $g(x)>=0$. Allora se $lim_(x->+\infty)f(x)/g(x)=L\in(0,+\infty)$ si ha che $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ converge se e solo se $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$ converge

Mentre il tuo è:

Se $\exists \alpha\in(0,1]: lim_(x->+\infty)f(x)/(1/x^(\alpha))=lim_(x->+\infty)x^(\alpha)f(x)=+\infty$ allora $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ diverge

Poi ci penserò un po' su, grazie ancora!

[donald_zeka]

Si, quella che conosci tu è giusta, ma non è completa, perché non sempre è possibile scegliere (o non è facile scegliere) una g(x) che rispetti quelle condizioni, perché come vedi, la $L$ non può assumere il valore $0$ e il valore $+oo$, in questi due casi quel test è inconclusivo. Quello detto da me è una appendice del criterio del confronto, o criterio degli infinitesimi.

Criterio degli infinitesimi (o del confronto, anche se nel criterio del confronto, quello citato da te, si usa una generica funzione g(x), mentre qui si usa la funzione 1/x come campione, quindi io lo chiamerei criterio degli infinitesimi per distinguerlo):

Sia $f>=0$ localmente integrabile in $[a,+oo[$ (ovviamente f è un infinitesimo per x che tende a infinito, ossia f tende a zero all'infinito, se no non potrebbe ovviamente convergere il suo integrale), sia $u=1/x$, allora:

1) se f è un infinitesimo di ordine $alpha>1$ rispetto a u, allora l'integrale di f converge
2) se f è un infinitesimo di ordine $0
Questi due punti sono equivalente al teorema enunciato da te, e ovviamente hanno il problema di dover determinare esattamente quanto vale $alpha$, cosa non sempre possibile, ecco allora che si può ovviare a questa cosa prendendo un alpha qualsiasi e vedere cosa succede:

3) se esiste $alpha>1$ tale che f è un infinitesimo di ordine maggiore di alpha rispetto a u, allora l'integrale di f converge
4) se esiste $alpha in ]0,1]$ tale che f è un infinitesimo di ordine minore di $alpha$ rispetto a u, allora l'integrale diverge


In pratica i punti 3 e 4 ti dicono che, se te hai una certa funzione, di cui non conosci l'ordine di infinitesimo, ma sai sicuramente che è, per esempio, maggiore di 3, allora, grazie al punto 3, l'integrale di f converge. Stessa cosa per il punto 4, se sai che f è sicuramente un infinitesimo, per esempio, minore di 1, allora grazie al punto 4 puoi dire che f diverge.

Nel tuo caso hai la funzione $1/(x^aln^bx)$ con $a<1$, si verifica che essa è un infinitesimo minore di 1, non si sa che ordine di infinitesimo è, ma ci basta sapere questo per dire che diverge.

[liberatorimatteo]

Chiarissimo, grazie ancora!