Convergenza integrale
Ciao a tutti; ho problemi con questo integrale:
$\int_{2}^{+\infty} \frac{sqrt(4x-8)} {xlog\frac{x}{2}}dx$
Devo verificare se questo integrale converge o meno.
Ho provato in tutti i modi a risolvere l'integrale ma niente da fare
Qualcuno ha idea di come procedere?
$\int_{2}^{+\infty} \frac{sqrt(4x-8)} {xlog\frac{x}{2}}dx$
Devo verificare se questo integrale converge o meno.
Ho provato in tutti i modi a risolvere l'integrale ma niente da fare
Qualcuno ha idea di come procedere?
Risposte
Non devi risolverlo ma solo vedere come si comporta negli intorni dei punti critici.
Però noto adesso che la funzione integranda è definita solo per $x >=2 $ quindi....
Però noto adesso che la funzione integranda è definita solo per $x >=2 $ quindi....
Dovrei vedere come si comporta la funzione integranda in un intorno di $+\infty$...ma come?
"Jek":
$\int_{0}^{+\infty} \frac{sqrt(4x-8)} {xlog\frac{x}{2}}dx$
Ciao
Sicuro che l'integrale non sia
$int_2^(+oo)$?
Che stupido che sono!! Ho controllato ed hai ragione tu: l'integrale è$\int_{2}^{+\infty}$
Correggo subito!
Ma rimango comunque incapace di risolverlo...ma in questi esercizi non devo calcolare la primitiva e poi passare al limite?
Correggo subito!
Ma rimango comunque incapace di risolverlo...ma in questi esercizi non devo calcolare la primitiva e poi passare al limite?
Quindi devo risolvere il limite per $x->2$ e per $x->+\infty$?
Sì, ma è bene non "partire in quarta" e controllare tutto prima di calcolare i limiti estremi, se non altro anche per rendersi conto se l'integrale abbia un senso oppure no
Hai
1°: dominio dell'integranda $g(x)$
Il dominio dell'integranda è la soluzione del sistema
2°: dove $g(x)$ è integrabile
L'integranda è continua in tutto il dominio perché composta da funzioni elementari ivi continue: ciò basta per affermare che è integrabile in $(2,+oo)$
3°: dove $g(x)$ è integrabile in maniera impropria
Ora si possono calcolare i limiti agli estremi dell'integranda e verificare così l'eventuale integrabilità impropria.
$=>$ L'integrale non converge.
Hai
$int_2^(+oo) g(x)dx = int_2^(+oo) sqrt(4x-8)/(xln(x/2))dx$
1°: dominio dell'integranda $g(x)$
Il dominio dell'integranda è la soluzione del sistema
${ ( 4x-8>=0 ),( xln(x/2) ne 0 ):} => text(dominio ) g(x) = (2,+oo)$
2°: dove $g(x)$ è integrabile
L'integranda è continua in tutto il dominio perché composta da funzioni elementari ivi continue: ciò basta per affermare che è integrabile in $(2,+oo)$
3°: dove $g(x)$ è integrabile in maniera impropria
Ora si possono calcolare i limiti agli estremi dell'integranda e verificare così l'eventuale integrabilità impropria.
$lim_(x->2^+) sqrt(4x-8)/(xln(x/2)) = (0 text( di ordine ) 1/2)/(0 text( di ordine ) < 1/2)= 0 => text(converge)$
$lim_(x->+oo) sqrt(4x-8)/(xln(x/2)) = (+oo text( di ordine ) 1/2)/(+oo text( di ordine ) >1)=0 text( di ordine) <1 => text(diverge)$
$=>$ L'integrale non converge.
solo un'osservazione, per completezza, alla soluzione ben formulata
andrebbe anche verificato che la funzione $g(x)$ si positiva in $[2;+\infty)$ (o comunque che mantenga segno costante, cosa che in questo caso è evidente, mi rendo conto
) per poter applicare il criterio del confronto asintotico (o dell'ordine).
"Brancaleone":
3°: dove $ g(x) $ è integrabile in maniera impropria
Ora si possono calcolare i limiti agli estremi dell'integranda e verificare così l'eventuale integrabilità impropria.
andrebbe anche verificato che la funzione $g(x)$ si positiva in $[2;+\infty)$ (o comunque che mantenga segno costante, cosa che in questo caso è evidente, mi rendo conto
) per poter applicare il criterio del confronto asintotico (o dell'ordine).
"Noisemaker":
solo un'osservazione, per completezza, alla soluzione ben formulata
[quote="Brancaleone"]
3°: dove $ g(x) $ è integrabile in maniera impropria
Ora si possono calcolare i limiti agli estremi dell'integranda e verificare così l'eventuale integrabilità impropria.
andrebbe anche verificato che la funzione $g(x)$ si positiva in $[2;+\infty)$ (o comunque che mantenga segno costante, cosa che in questo caso è evidente, mi rendo conto
) per poter applicare il criterio del confronto asintotico (o dell'ordine).[/quote]Giusto, grazie per averlo ricordato Noisemaker!
Grazie mille per le risposte!
Ho fatto un altro esercizio seguendo le vostre indicazioni...ma non ne arrivo a capo; non riesco proprio a capire dove sbaglio.
Ho il seguente integrale:
$\int_{0}^{1} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x)) dx$
Dominio della funzione integranda:
$\{(-log(x)>0),(x>0),(1-sqrt(x)!=0):}$
da cui ottengo che la funzione integranda è definita nell'intervallo $]0;1[$
Continuità:
Dal punto precedente vedo che la funzione integranda è continua in tutto il suo dominio quindi è integrabile nel suo dominio.
Calcolo i limiti agli estremi dell'intervallo di integrazione:
$\lim_{x->0^+} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
$\lim_{x->1^-} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
in quanto $log(x)$ è equivalente (non riesco a scrivere il tilde) a $x-1$ per $x->1$ e il termine $1-sqrt(x)$ tende a $0$ più velocemente del termine $sqrt(1-x)$.
Quindi l'integrale dovrebbe essere divergente e invece il libro porta come soluzione "convergente".
Ma cosa è che sbaglio?
Ho fatto un altro esercizio seguendo le vostre indicazioni...ma non ne arrivo a capo; non riesco proprio a capire dove sbaglio.
Ho il seguente integrale:
$\int_{0}^{1} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x)) dx$
Dominio della funzione integranda:
$\{(-log(x)>0),(x>0),(1-sqrt(x)!=0):}$
da cui ottengo che la funzione integranda è definita nell'intervallo $]0;1[$
Continuità:
Dal punto precedente vedo che la funzione integranda è continua in tutto il suo dominio quindi è integrabile nel suo dominio.
Calcolo i limiti agli estremi dell'intervallo di integrazione:
$\lim_{x->0^+} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
$\lim_{x->1^-} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
in quanto $log(x)$ è equivalente (non riesco a scrivere il tilde) a $x-1$ per $x->1$ e il termine $1-sqrt(x)$ tende a $0$ più velocemente del termine $sqrt(1-x)$.
Quindi l'integrale dovrebbe essere divergente e invece il libro porta come soluzione "convergente".
Ma cosa è che sbaglio?
Scusate assai, ma mi preme notare che:
\[
\ln \frac{x}{2} = \ln \left( 1+\frac{x-2}{2}\right)=\frac{x-2}{2} + \text{o}(x-2)
\]
cosicché risulta:
\[
\lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{4x-8}}{x\ \ln \frac{x}{2}} = \lim_{x\to 2^+} \frac{2}{x}\ \frac{\sqrt{x-2}}{\frac{x-2}{2} + \text{o}(x-2)} = + \infty
\]
e non \(\lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{4x-8}}{x\ \ln \frac{x}{2}} =0\) come erroneamente segnalato più sopra.
Inoltre, da questo ragionamento segue che in \(2\) l'integrando è un infinito di ordine \(1/2\), poiché esso si comporta come \(\sqrt{x-2}/(x-2) = 1/\sqrt{x-2}\). Dunque l'integrando è comunque sommabile intorno a \(2\) per confronto asintotico.
La sommabilità si perde intorno a \(\infty\), perché l'ordine del denominatore non è sufficientemente elevato da garantire la sommabilità del rapporto.
\[
\ln \frac{x}{2} = \ln \left( 1+\frac{x-2}{2}\right)=\frac{x-2}{2} + \text{o}(x-2)
\]
cosicché risulta:
\[
\lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{4x-8}}{x\ \ln \frac{x}{2}} = \lim_{x\to 2^+} \frac{2}{x}\ \frac{\sqrt{x-2}}{\frac{x-2}{2} + \text{o}(x-2)} = + \infty
\]
e non \(\lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{4x-8}}{x\ \ln \frac{x}{2}} =0\) come erroneamente segnalato più sopra.
Inoltre, da questo ragionamento segue che in \(2\) l'integrando è un infinito di ordine \(1/2\), poiché esso si comporta come \(\sqrt{x-2}/(x-2) = 1/\sqrt{x-2}\). Dunque l'integrando è comunque sommabile intorno a \(2\) per confronto asintotico.
La sommabilità si perde intorno a \(\infty\), perché l'ordine del denominatore non è sufficientemente elevato da garantire la sommabilità del rapporto.
Grazie mille per le risposte!
Ho fatto un altro esercizio seguendo le vostre indicazioni...ma non ne arrivo a capo; non riesco proprio a capire dove sbaglio.
Ho il seguente integrale:
$\int_{0}^{1} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x)) dx$
Dominio della funzione integranda:
$\{(-log(x)>0),(x>0),(1-sqrt(x)!=0):}$
da cui ottengo che la funzione integranda è definita nell'intervallo $]0;1[$
Continuità:
Dal punto precedente vedo che la funzione integranda è continua in tutto il suo dominio quindi è integrabile nel suo dominio.
Calcolo i limiti agli estremi dell'intervallo di integrazione:
$\lim_{x->0^+} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
$\lim_{x->1^-} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
in quanto $log(x)$ è equivalente (non riesco a scrivere il tilde) a $x-1$ per $x->1$ e il termine $1-sqrt(x)$ tende a $0$ più velocemente del termine $sqrt(1-x)$.
Quindi l'integrale dovrebbe essere divergente e invece il libro porta come soluzione "convergente".
Ma cosa è che sbaglio?
Ho fatto un altro esercizio seguendo le vostre indicazioni...ma non ne arrivo a capo; non riesco proprio a capire dove sbaglio.
Ho il seguente integrale:
$\int_{0}^{1} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x)) dx$
Dominio della funzione integranda:
$\{(-log(x)>0),(x>0),(1-sqrt(x)!=0):}$
da cui ottengo che la funzione integranda è definita nell'intervallo $]0;1[$
Continuità:
Dal punto precedente vedo che la funzione integranda è continua in tutto il suo dominio quindi è integrabile nel suo dominio.
Calcolo i limiti agli estremi dell'intervallo di integrazione:
$\lim_{x->0^+} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
$\lim_{x->1^-} sqrt(-log(x))/(1-sqrt(x))= + \infty$
in quanto $log(x)$ è equivalente (non riesco a scrivere il tilde) a $x-1$ per $x->1$ e il termine $1-sqrt(x)$ tende a $0$ più velocemente del termine $sqrt(1-x)$.
Quindi l'integrale dovrebbe essere divergente e invece il libro porta come soluzione "convergente".
Ma cosa è che sbaglio?
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