Convergenza in misura
Su praticamente tutti i libri di testo di analisi reale è presente il seguente esercizio (ovviamente senza risoluzione) che mi incuriosiva:
Sia E un insieme misurabile di $R^n$ di misura finita. Sia $f_n$ una successione che tende in misura ad $f$ e $g_n$ successione che tende in misura a $g$ (tutte le funzioni sono misurabili). Dovrei dimostrare che allora anche $f_ng_n\tofg$ in misura.
Avevo pensato di passare tramite il teorema della scelta a sottosuccessioni che convergono quasi uniformemente.. e ricondurmi in questo modo a dimostrare l'esercizio nell caso della convergenza uniforme (da lì poi non è troppo difficile tornare alle successioni di partenza), ma proprio non riesco ad arrivare a nulla.. Esiste qualche teorema che mi garantisce che se due successioni convergono uniformemente allora anche il loro proddotto converge uniformemente al prodotto delle funzioni limite?
Sia E un insieme misurabile di $R^n$ di misura finita. Sia $f_n$ una successione che tende in misura ad $f$ e $g_n$ successione che tende in misura a $g$ (tutte le funzioni sono misurabili). Dovrei dimostrare che allora anche $f_ng_n\tofg$ in misura.
Avevo pensato di passare tramite il teorema della scelta a sottosuccessioni che convergono quasi uniformemente.. e ricondurmi in questo modo a dimostrare l'esercizio nell caso della convergenza uniforme (da lì poi non è troppo difficile tornare alle successioni di partenza), ma proprio non riesco ad arrivare a nulla.. Esiste qualche teorema che mi garantisce che se due successioni convergono uniformemente allora anche il loro proddotto converge uniformemente al prodotto delle funzioni limite?
Risposte
No. Si può costruire un esempio di questo tipo:
una successione $f_n$ convergente uniformemente ad una funzione $f$;
una successione $g_n$ convergente uniformemente ad una funzione $g$;
tali che
$f_ng_n$ converge solo puntualmente alla funzione $fg$.
Purtroppo ora non ho tempo di entrare nel dettaglio ma questo è un esercizio di Principi di analisi matematica di Rudin, uno dei primi del settimo capitolo, se vuoi approfondire questa questione ti consiglio di guardarci.
una successione $f_n$ convergente uniformemente ad una funzione $f$;
una successione $g_n$ convergente uniformemente ad una funzione $g$;
tali che
$f_ng_n$ converge solo puntualmente alla funzione $fg$.
Purtroppo ora non ho tempo di entrare nel dettaglio ma questo è un esercizio di Principi di analisi matematica di Rudin, uno dei primi del settimo capitolo, se vuoi approfondire questa questione ti consiglio di guardarci.
Ok, grazie mille, adesso provo a guardare sul Rudin allora. Cmq se nei prossimi giorni hai qualche idea ti ringrazio tanto.. è da un po' di tempo che penso a questa cosa e vorrei davvero riuscire a dimostrarla 
Io ti consiglio di supporre $f, g=0$ e di scrivere ipotesi e tesi in questa maniera, molto usata in Probabilità:
per ipotesi, per ogni $epsilon$
$mu {|f_n| > epsilon} \to 0,\ mu{ |g_n |>epsilon} \to 0$;
vogliamo dimostrare che questo implica
$mu {|f_ng_n| > epsilon} \to 0}$ sempre per ogni $epsilon$.
E' chiaro cosa intendo con ${|f_n|>epsilon}$? La scrittura per esteso sarebbe ${x\ :\ |f_n(x)|>epsilon}$.
L'insieme ${|f_ng_n|>epsilon}$ lo possiamo scrivere così:
${|f_n| * |g_n|> epsilon, |f_n|<1} uu {|f_n| * |g_n|> epsilon, |f_n|>=1}$.
Prova a continuare tu, se proprio non ci riesci ti dò un altro spunto.
per ipotesi, per ogni $epsilon$
$mu {|f_n| > epsilon} \to 0,\ mu{ |g_n |>epsilon} \to 0$;
vogliamo dimostrare che questo implica
$mu {|f_ng_n| > epsilon} \to 0}$ sempre per ogni $epsilon$.
E' chiaro cosa intendo con ${|f_n|>epsilon}$? La scrittura per esteso sarebbe ${x\ :\ |f_n(x)|>epsilon}$.
L'insieme ${|f_ng_n|>epsilon}$ lo possiamo scrivere così:
${|f_n| * |g_n|> epsilon, |f_n|<1} uu {|f_n| * |g_n|> epsilon, |f_n|>=1}$.
Prova a continuare tu, se proprio non ci riesci ti dò un altro spunto.
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