Convergenza in media in uno s.d.p.
Una domanda veloce.
Sia $(Omega,F,P)$ uno s.d.p. e sia un ${f_n}$ una successione di funzioni misurabili (f.m.).
Sia $f$ una f.m. sullo stesso spazio.
Trovo che se $f_n$ converge in $L^r$ a $f$ allora converge in $L^s$ a $f$ con $r>=s>=1$.
In particolare ho visto che ovunque viene richiesto che $s>=1$. Lo ho trovato dappertutto.
Mi chiedevo se valesse anche con $0
Grazie.
Sia $(Omega,F,P)$ uno s.d.p. e sia un ${f_n}$ una successione di funzioni misurabili (f.m.).
Sia $f$ una f.m. sullo stesso spazio.
Trovo che se $f_n$ converge in $L^r$ a $f$ allora converge in $L^s$ a $f$ con $r>=s>=1$.
In particolare ho visto che ovunque viene richiesto che $s>=1$. Lo ho trovato dappertutto.
Mi chiedevo se valesse anche con $0
Grazie.
Risposte
Una risposta demenziale (nel senso di: data senza pensarci), perché sono impegnato con altre cose. Il risultato che citi è diretta conseguenza della disuguaglianza di Hölder. MI pare che con esponenti più piccoli di $1$ questa disuguaglianza ti fa degli scherzi (mi sa che cambia verso). Quindi mi pare che con gli esponenti più piccoli di $1$ il tuo risultato è falso e valgono invece le inclusioni in senso opposto.
Prova a buttare un'occhio su Inequalities di Hardy, Littlewood e Polya, o se vai di fretta mi sembra che anche Rudin R&CA dica qualcosa sull'argomento nel capitolo dedicato agli spazi $L^p$.
Prova a buttare un'occhio su Inequalities di Hardy, Littlewood e Polya, o se vai di fretta mi sembra che anche Rudin R&CA dica qualcosa sull'argomento nel capitolo dedicato agli spazi $L^p$.
Grazie della celere risposta.
Esatto Holder; ma io avevo pensato a Jensen; quando hai tempo dai una occhiata così vedi se fila.
Abbiamo come ipotesi che $int |f_n-f|^r dP$ converge a 0.
Consideriamo ora la funzione da $[0,+infty)$ definita come $g(x)=x^(r/s)$ ora siccome $r>=s>0$ la funzione è convessa.
Chiamo per comodità $f_n-f=h_n$; ora applico Jensen a $|h_n|^s$
si ha che: $int g(|h_n|^s) dP \ \ >= \ \ g(int |h_n|^s dP)$; esplicitando g
$int (|h_n|^s)^(r/s) dP \ =\ int |h_n|^r dP \ \ >= \ \ (int |h_n|^s dP)^(r/s)$
Ora il primo membro tende a 0 e concludere.
Che ne dite? Errori?
Esatto Holder; ma io avevo pensato a Jensen; quando hai tempo dai una occhiata così vedi se fila.
Abbiamo come ipotesi che $int |f_n-f|^r dP$ converge a 0.
Consideriamo ora la funzione da $[0,+infty)$ definita come $g(x)=x^(r/s)$ ora siccome $r>=s>0$ la funzione è convessa.
Chiamo per comodità $f_n-f=h_n$; ora applico Jensen a $|h_n|^s$
si ha che: $int g(|h_n|^s) dP \ \ >= \ \ g(int |h_n|^s dP)$; esplicitando g
$int (|h_n|^s)^(r/s) dP \ =\ int |h_n|^r dP \ \ >= \ \ (int |h_n|^s dP)^(r/s)$
Ora il primo membro tende a 0 e concludere.
Che ne dite? Errori?
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