Convergenza in L^p

[erasmulfo1]

Salve a tutti!
Stamane avevo un esame di Istituzioni, ebbene, c'era questo esercizio, che proprio non sapevo come fare!
Sia $ (X,A,mu) $ uno spazio con misura e $ {f_k} $ una successione di funzioni misurabili tale che:
$ lim_(k->oo) int_X(e^(f_k^2)-1)dmu=0 $
Provare che $ f->0 $ in $ L^p $ per ogni $ p in [2,+oo) $
Poi chiedeva anche un esempio di spazio e di funzioni per cui valga il limite ma che non convergano in $ L^p $, ma questo è davvero troppo!
Io c'ho pensato per due ore, poi me ne sono andato via... Sapreste aiutarmi?

[Seneca1]

Giacché $e^y - 1 >= y$ , $\forall y \in RR$, \[ 0 \le ||f_k||_2^2 \; = \; \int_X f_k^2 d \mu \;\le\; \int_X ( e^{f_k^2} - 1 ) d \mu \to 0\]
segue che $f_k -> 0$ in $L^2$. Per provare che $f_k -> 0$ in $L^p$ con $p >= 2$ penso l'idea possa essere questa: essendo \[\mu \{ f_k > 1 \} = \mu \{ f_k^2 > 1 \} \le \int_X f_k^2 d \mu \to 0 \]
esiste un insieme di misura arbitrariamente piccola nel complementare del quale $f_k^p \le 1$ definitivamente.
Preso $p > 2$ vale $e^y - 1 >= y^p$, $\forall y \in [0,1]$ ...