Convergenza in \(L^\infty\)
\(lim_{\epsilon\to0} \Vert e^{i\sqrt{(\lambda+i\epsilon)}|x-y|}-e^{i\sqrt{\lambda}|x-y|}\Vert_{L^\infty(\mathbb{R}_x^3)}\)=?
Dove \(\lambda\in\mathbb{R}\) e \(y\) è un punto fissato di \(\mathbb{R}^3\).
Dove \(\lambda\in\mathbb{R}\) e \(y\) è un punto fissato di \(\mathbb{R}^3\).
Risposte
Cos'è questo?
Un esercizio che proponi a noi?
Un esercizio che dovresti svolgere tu?
Una domanda così, tirata fuori da chissà dove?
Un esercizio che proponi a noi?
Un esercizio che dovresti svolgere tu?
Una domanda così, tirata fuori da chissà dove?
Avrei bisogno di valutarr questo limite, che mi è venuto fuori in una stima
Cosa hai provato finora?
Cos'è \(i\)? Un indice, l'unità immaginaria...?
Quale determinazione della radice complessa (eventualmente) stai usando?
Cos'è \(i\)? Un indice, l'unità immaginaria...?
Quale determinazione della radice complessa (eventualmente) stai usando?
i è l'unità immaginaria e di radice prendo quella con parte immaginaria positiva; a me servirebbe che quella quantità andasse a zero...ma dai conti fatti finora non viene! Ho semplicemente esplicitato le quantità e calcolato il modulo....
Io farei innanzitutto una stima "ad occhio".
Pongo per comodità \(t=|x-y|\) e \(\sqrt{\lambda}=a\) con \(\lambda >0\).
Prendere il \(\sup\) di quella roba lì per \(x\in \mathbb{R}^3\) equivale a prendere il \(\sup\) per \(t\in [0,+\infty[\) di:
\[
\left| e^{\imath\ \sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon}\ t} -e^{\imath\ a\ t} \right| \; ;
\]
dato che voglio \(\varepsilon \approx 0\), lo penso reale e positivo e per noti fatti trovo \(\sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon} = a\ \sqrt{1-\imath\ \frac{\varepsilon}{\lambda}} \approx a -\imath\ \frac{a\varepsilon}{2\lambda}\) quindi:
\[
\left| e^{\imath\ \sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon}\ t} -e^{\imath\ a\ t} \right| = \left| e^{\imath\ (\sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon} -a)\ t} -1 \right| \approx \left| e^{-\frac{a\varepsilon}{2\lambda}\ t} -1 \right|\; .
\]
L'estremo superiore della roba all'ultimo membro è \(1\), quindi ne deduco che la roba al primo membro non abbia estremo superiore molto diverso da \(1\).
Quindi, non credo che il tuo limite possa andare a zero.
Però questi sono conti fatti coi piedi.
Posta i tuoi, così vediamo che succede calcolando esplicitamente il modulo.
Pongo per comodità \(t=|x-y|\) e \(\sqrt{\lambda}=a\) con \(\lambda >0\).
Prendere il \(\sup\) di quella roba lì per \(x\in \mathbb{R}^3\) equivale a prendere il \(\sup\) per \(t\in [0,+\infty[\) di:
\[
\left| e^{\imath\ \sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon}\ t} -e^{\imath\ a\ t} \right| \; ;
\]
dato che voglio \(\varepsilon \approx 0\), lo penso reale e positivo e per noti fatti trovo \(\sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon} = a\ \sqrt{1-\imath\ \frac{\varepsilon}{\lambda}} \approx a -\imath\ \frac{a\varepsilon}{2\lambda}\) quindi:
\[
\left| e^{\imath\ \sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon}\ t} -e^{\imath\ a\ t} \right| = \left| e^{\imath\ (\sqrt{\lambda+\imath\ \varepsilon} -a)\ t} -1 \right| \approx \left| e^{-\frac{a\varepsilon}{2\lambda}\ t} -1 \right|\; .
\]
L'estremo superiore della roba all'ultimo membro è \(1\), quindi ne deduco che la roba al primo membro non abbia estremo superiore molto diverso da \(1\).
Quindi, non credo che il tuo limite possa andare a zero.
Però questi sono conti fatti coi piedi.
Posta i tuoi, così vediamo che succede calcolando esplicitamente il modulo.
Diciamo che il mio conto segue a grandi linee il tuo ragionamento!!!
Cercavo una conferma...ti ringrazio
Cercavo una conferma...ti ringrazio
Come detto, questa è ben lungi dall'essere una conferma o una smentita.
I miei sono due contarielli poco indicativi... Visto che sei tu a lavorare sulla questione (tra l'altro, credo collegata a qualche argomento di tesi/ricerca), o i preoccupi di dare qualche risultato specifico su cui far muovere gli altri, oppure difficilmente troverai qualcuno a fare conti al tuo posto.
I miei sono due contarielli poco indicativi... Visto che sei tu a lavorare sulla questione (tra l'altro, credo collegata a qualche argomento di tesi/ricerca), o i preoccupi di dare qualche risultato specifico su cui far muovere gli altri, oppure difficilmente troverai qualcuno a fare conti al tuo posto.
Hai ragione...i conti non li ho postati per pigrizia...comunque calcolando il modulo salta fuori un coseno sommato ad altre costanti che mi dà un sup diverso da zero!!
Comunque domani provo a ripeterli e magari se non risolvo li posto; devo provare anche a cambiare la stima e vedere se quella che ho fatto è troppo grossolana.
Ti ringrazio dei consigli e della disponibilità!
Comunque domani provo a ripeterli e magari se non risolvo li posto; devo provare anche a cambiare la stima e vedere se quella che ho fatto è troppo grossolana.
Ti ringrazio dei consigli e della disponibilità!
Ecco i miei conti
\(\begin{eqnarray} |e^{i\sqrt{\lambda+i\epsilon}|x-y|}-e^{i\sqrt{\lambda}|x-y|}|^2=|e^{i(\sqrt{\lambda+i\epsilon}-\sqrt{\lambda})|x-y|}-1|^2=|e^{-(Im\sqrt{\lambda+i\epsilon})|x-y|}e^{i(Re\sqrt{\lambda+i\epsilon}-\sqrt{\lambda})|x-y|}-1|^2=\ldots=\end{eqnarray}\)
\( =1+e^{-2(Im\sqrt{\lambda+i\epsilon})|x-y|}-2e^{-(Im\sqrt{\lambda+i\epsilon})|x-y|}cos[(Re\sqrt{\lambda+i\epsilon}-\sqrt{\lambda})|x-y|]
\)il cui \(sup\) è 4.
\(\begin{eqnarray} |e^{i\sqrt{\lambda+i\epsilon}|x-y|}-e^{i\sqrt{\lambda}|x-y|}|^2=|e^{i(\sqrt{\lambda+i\epsilon}-\sqrt{\lambda})|x-y|}-1|^2=|e^{-(Im\sqrt{\lambda+i\epsilon})|x-y|}e^{i(Re\sqrt{\lambda+i\epsilon}-\sqrt{\lambda})|x-y|}-1|^2=\ldots=\end{eqnarray}\)
\( =1+e^{-2(Im\sqrt{\lambda+i\epsilon})|x-y|}-2e^{-(Im\sqrt{\lambda+i\epsilon})|x-y|}cos[(Re\sqrt{\lambda+i\epsilon}-\sqrt{\lambda})|x-y|]
\)il cui \(sup\) è 4.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo