Convergenza in L2

[Peco602]

Perchè la convergenza in media quadratica(L2) implica la convergenza nel senso delle distribuzioni temperate?

[dissonance]

In linea di massima, la convergenza nel senso delle distribuzioni (eventualmente temperate) è quella "di bocca più buona" possibile, nel senso che è la convergenza nel senso di "qualunque" spazio funzionale implica la convergenza nel senso delle distribuzioni. Nel caso di [tex]L^2[/tex] la maniera più veloce di dimostrarlo è, per me:

siano [tex]u_n, u \in L^2[/tex] tali che [tex]u_n \stackrel{L^2}{\to} u[/tex]. Allora [tex]u_n[/tex] converge ad [tex]u[/tex] anche in senso debole, ovvero [tex]u_n \stackrel{L^2}{\rightharpoonup} u[/tex]. Esplicitamente questo significa che [tex]\int u_n \varphi \to \int u \varphi[/tex] per ogni [tex]\varphi \in L^2(\mathbb{R}^N)[/tex], e quindi anche per ogni [tex]\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^N)[/tex], ovvero la convergenza nel senso delle distribuzioni temperate.

[Peco602]

ma non definisco la convergenza in L2 con un quadrato?

[dissonance]

Ma la convergenza debole la conosci?

[Peco602]

potresti spiegarmi bene tutto?

[Fox4]

Una successione di funzioni ${f_n}$ in uno spazio metrico $X$ si dice convergere debolmente a $f$ se:

$\forall \phi\inX^"*"\ \ \ <\phi,f_n>$$->"<\phi,f>$ (che è $\phi(f_n)->\phi(f)$ dipende da che notazione usi)

e si scrive allora [tex]f_n\ \rightharpoonup\ f[/tex], non mi viene ma sarebbe la mezza freccia. [edit] ooh adesso è venuta, ho capito [/edit]

qual'è questa definizione col quadrato alla quale ti riferisci?

[Peco602]

Dunque quando fn converge a f in L2 ho che l'integrale da a a b di fn - f in modulo al quadrato tende a 0. come faccio a legare questo alla convergenza debole?

[Fox4]

guarda qua: formule

[Peco602]

grazie mille ho risolto...ad S appartengono anche le f di L2