Convergenza in $L^1(RR^2),L^2(RR^2),L^{\infty}(RR^2)$

[miuemia]

siano

$B_n={(x,y)\in RR^2 : x^2+y^2\leq n^2}$

e $f_n(x,y)=\frac{sin(x^2+y^2)}{1+^2+y^2}$ se $(x,y)\in B_n$, $0$ altrimenti.

studiare la convergenza in $L^1(RR^2),L^2(RR^2),L^{\infty}(RR^2)$.

ho visto che la succ converge puntalmente a $f(x,y)=\frac{sin(x^2+y^2)}{1+x^2+y^2}$

inoltre $f_n$ sono in modulo sempre minori di $\frac{1}{1+x^2+y^2}$ e tale funzione sta il $L^2(RR^2)$ e in $L^{\infty}$ in quanto è sempre più piccola di 1.

quindi direi che c'è convergenza in $L^2$ e in $L^{\infty}$. per quanto riguarda $L^1$ non so proprio.

è correto secondo voi?

[clrscr]

"miuemia":siano

$B_n={(x,y)\in RR^2 : x^2+y^2\leq n^2}$

e $f_n(x,y)=\frac{sin(x^2+y^2)}{1+^2+y^2}$ se $(x,y)\in B_n$, $0$ altrimenti.

studiare la convergenza in $L^1(RR^2),L^2(RR^2),L^{\infty}(RR^2)$.

ho visto che la succ converge puntalmente a $f(x,y)=\frac{sin(x^2+y^2)}{1+x^2+y^2}$

inoltre $f_n$ sono in modulo sempre minori di $\frac{1}{1+x^2+y^2}$ e tale funzione sta il $L^2(RR^2)$ e in $L^{\infty}$ in quanto è sempre più piccola di 1.

quindi direi che c'è convergenza in $L^2$ e in $L^{\infty}$. per quanto riguarda $L^1$ non so proprio.

è correto secondo voi?

Per $L^1(RR^2)$ ho ragionato così:
Passo alle coordinate polari...
$f(rho, theta)=lim_(n->+oo)int_0^(2pi)int_n^(+oo) |(sin rho^2)/(1+rho^2)*rho| drho d theta$ che non mi sembra sommabile.

[miuemia]

anche io avevo fatto un ragionamento simile. ma per $L^{\infty}$ non sono sicuro in quanto nn mi dice nulla il fatto che è minore di 1, o no?

[clrscr]

"miuemia":anche io avevo fatto un ragionamento simile. ma per $L^{\infty}$ non sono sicuro in quanto nn mi dice nulla il fatto che è minore di 1, o no?

Per $L^(oo)$ si può ragionare sempr con le coordinate polari:
$lim_(n->+oo) \text{sup}_(rho in RR) |f(rho,theta)-f_n(rho,theta)|=lim_(n->+oo) \text{sup}_(rho in [n,+oo])|(sen rho^2)/(1+rho^2)|$ che tende a zero per $n->+oo$.