Convergenza funzioni complesse

[Koller1]

Ciao!
Mi é venuto un dubbio: le definizioni convergenza puntuale e uniforme (che io ho studiato nell'ambito delle funzioni di una variabile reale) si possono estendere anche alle funzioni complesse? in quale modo?

[gugo82]

Sono del tutto uguali, a patto di usare il modulo complesso al posto del valore assoluto dove necessario.

[Koller1]

Comprendo e ti ringrazio, per questa e per le altre mille volte che hai risposto a mie domande negli ultimi mesi..
in ogni caso dai un'occhiata a questa mezza paginetta (spero si legga bene)



Ho chiesto quella roba sulle funzioni complesse perché non riesco a venire a capo del lemma 2.8
In particolare non capisco come mai, nell'ambito di un discorso sulle serie di funzioni (serie di potenze), il libro sente il bisogno di utilizzare una terminologia propria delle serie numeriche (convergenza semplice e assoluta) invece di utilizzare quella tipica delle serie di funzioni (convergenza puntuale e uniforme).. Il lemma 2.8 ha come oggetto una serie numerica o una serie di funzioni?

[gugo82]

Beh, ma tutto ciò che puoi dire sulle serie numeriche lo puoi dire pure per quelle di funzioni... Ad esempio, la definizione di convergenza assoluta per le serie di funzioni è la seguente:

Sia $\sum f_n$ una successione di funzioni numeriche (reali o complesse) definite in un insieme $X$ (contenuto in $RR$ o in $CC$).

Si dice che $\sum f_n$ converge assolutamente nel punto $x\in X$ se la serie (reale a termini non negativi) $\sum |f_n(x)|$ è convergente.

Si dice che $\sum f_n$ converge assolutamente in $X$ se essa converge assolutamente in ogni punto $x\in X$.

Insomma, quando hai una nozione di convergenza definita per serie numeriche, essa si traduce in una nozione di convergenza "puntuale" per le serie di funzioni.


P.S.: Che libro? Pagani-Salsa?

[Koller1]

Ok ho capito!
Si é il pagani salsa, ottimo libro