Convergenza funzionale

[Thomas16]

e così ricominciano le lezioni... non ho tempo di fare esercizi, ma perlomeno ve ne posso proporre qualuno!... l'argomento è analisi... è un esercizio per chi ha voglia di esercitarsi con le convergenze di funzioni... in realtà l'ho trovato scritto oggi come passaggio "scontato" di una dimostrazione ... scontato lo sembra, ma forse un pò di formule le richiede

Proposizione: sia $f:R_1xR_2->R$,$(x,t)->f(x,t)$ (ho distinto $R_1$ ed $R_2$ per le notazioni, ma sempre di reali si parla) t.c. esistono $a,b,c,d$ reali t.c.

- per ogni $x_0in[a,b]inR_1$, $f: R_2->R, (x_0,t)->f(x_0,t)$ sia derivabile su $[c,d]$;

- per ogni $t_0in[c,d]inR_2$, $f: R_1->R, (x,t_0)->f(x,t_0)$ sia continua su $[a,b]$;

(quest'ultima parte forse si spiega meglio con le derivate parziali, ma non sono sicuro di alcune notazioni e quindi l'ho spiegata così).

dimostrare che per ogni $t$, presa una successione $h_n->0$, che la successione di funzioni di $x$:

$g_n=(f(t+h_n,x)-f(t,x))/h_n$

tende uniformemente alla derivata parziale della $f$ rispetto a $t$...

uff... che lungo da scrivere... spero fosse chiaro!