Convergenza Fourier

[mauro742]

Ciao,

non mi è molto chiaro come si studia la convergenza della serie di Fourier.

Ad esempio devo studiare la convergenza della serie di una funzione con periodo $2 pi$ definita come:

f(x) = 1 per $x in [0, pi/2]$
f(x) = -1 per $x in (pi/2, pi]$

In $pi/2$ la serie di fourier converge a 0 mentre f(x) converge a 1. È corretto dire che non è convegenza puntuale in $pi/2 + k pi$?

Grazie,

Mauro

[Sk_Anonymous]

La serie di Fourier associata ad $f$ converge q.o. ad $f$. Considera infatti che, in generale, il concetto di convergenza in un insieme dipende strettamente dalla metrica (anzi dalla topologia) di cui l'insieme di fatto è dotato. Nel caso specifico, la convergenza è sostanzialmente determinata dalla metrica indotta in $L^2([0,\pi],\mathbb{R})$ dal prodotto scalare $L^2([0,\pi],\mathbb{R})$ x $L^2([0, \pi],\mathbb{R}) \to \mathbb{R}: (u,v) \to \int_a^b u(x) v(x) dx$, dove l'integrazione deve intendersi nel senso di Lebesgue. Così non c'è da stupirsi se si dice che la serie di Fourier associata ad $f$ converge ad $f$, quantunque puntualmente questo non sia vero.

[mauro742]

Quindi la convergenza è anche uniforme?

[Sk_Anonymous]

Q.o. sì. Altrimenti no.

[mauro742]

Se invece si considera la funzione $f(x) = e^x$ con $x in [-pi, pi)$?

[Sk_Anonymous]

E che cambia?! Soltanto lo spazio in cui ci si muove, qui la periodicizzazione di $L^2([\-pi, \pi])$. La sostanza tuttavia è la stessa...

[Kroldar]

david, il mio testo di metodi matematici recita così: "in uno spazio di Hilbert la serie di Fourier converge" senza fornirne né una dimostrazione né spendendoci sopra parole aggiuntive. dunque la serie di fourier potrebbe divergere? oppure la serie di fourier di f, qualora convergesse, potrebbe non convergere a f se non ci si trova in uno spazio di Hilbert? puoi spiegarmela tu questa proposizione?

[Sk_Anonymous]

"Kroldar":david, il mio testo di metodi matematici recita così: "in uno spazio di Hilbert la serie di Fourier converge" senza fornirne né una dimostrazione né spendendoci sopra parole aggiuntive.

Vabbè... Questo è quasi naturale! Sia infatti $(H, <\cdot >)$ un K-spazio di Hilbert, reale o complesso, non banale. Il teorema della base di Hilbert garantisce allora l'esistenza di una base ortonormale $E = \{e_i\}_{i \in J}$ per $H$.

Questo implica che, per ogni $u \in H$, sono univocamente determinati coefficienti $\alpha_i \in K$ tali che $u = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i$, dove la convergenza deve intendersi qui - almeno nel caso generale di spazi non separabili - nel senso delle reti. Si scopre in particolare (banale!) che $\alpha_i = $, per ogni $i \in J$. Ebbene, la rappresentazione del vettore $u$ mediante la serie $\sum_{i \in J} \alpha_i e_i$ si dice appunto l'espansione di Fourier di $u$ rispetto alla base $E$.

Tutta la confusione nasce dal fatto che, nei corsi di analisi per l'ingegneria e non solo, le serie di Fourier vengono calate dall'altro, occultando allo studente la verità topologica che ci sta dietro. Il più delle volte perché sconosciuta anche al docente. E forse anche perché, storicamente, la teoria degli spazi di Hilbert è stata sviluppata in epoca successiva all'introduzione delle serie di Fourier e al suo impiego nella risoluzione dell'equazione del calore.

Capita così che, ancora nei suddetti corsi, si pigli una funzione $f$ definita su un intervallo $[a,b]$ di $\mathbb{R}$ ed ivi soddisfacente "opportune ipotesi di regolarità", la si estende periodicamente a tutto $\mathbb{R}$ mediante una $F$, si calcolano un po' di coefficienti tramite un paio di integrali, si scrive una serie trigonometrica pesata da questi stessi coefficienti, che si battezza nel nome di Fourier, e si lascia intendere che questa sia convergente (in che senso però non viene detto!) non ad $F$, ma ad una sua parente stretta (vedi teorema di Dirichlet) sotto opportune condizioni (dette appunto, condizioni D o di Dirichlet). A meno che $F$ non sia continua punto a punto.

La verità però è ben altra: la serie converge effettivamente ad $F$, senza riserve di alcun tipo, solo che la convergenza è quella di $L^2([a,b])$, che è sì uno spazio di Hilbert rispetto a un opportuno prodotto, e come tale è ben diversa dalla convergenza puntuale in senso classico introdotta sulle serie di funzioni poggiandosi alla convergenza (in senso standard) delle serie numeriche reali.

[irenze]

Vediamo se ci riesco io...

Se ti trovi in uno spazio di Hilbert $H$, puoi sempre scrivere la serie di Fourier di $x\in H$ (data una base ortonormale ${e_i}_{i\in I}$ di $H$ essa è $\sum_{i\in I}(x|e_i)e_i$) e tale serie ha al più un'infinità numerabile di termini per ogni $x$ e converge in $H$.

Se ti metti in $L^2([0,\pi])$ (spazio di Hilbert) la serie di Fourier di $f\in L^2$ (che in questo caso ha una forma che sai scrivere esplicitamente) converge in $L^2$ (cioè nella norma $L^2$).
Ti puoi chiedere se la serie di Fourier di una funzione di $L^1$ converge in $L^1$. Questo è in generale falso!

Credo che il tuo libro intendesse questo.

EDIT: Sorry David, sono arrivata un po' in ritardo!

[Kroldar]

david ti ringrazio per la tua esauriente e accurata spiegazione.
irenze hai capito perfettamente ciò che intendeva il mio libro, infatti esso parla esplicitamente di $L^1$ e ci dice che un segnale è somma della propria serie di Fourier nei punti dove è regolarizzato e dunque non lo è in generale, grazie anche a te cmq per la risposta.

vorrei spendere due parole riguardo agli interventi di davidhilbert che spesso fa riferimento alla parola "topologia" e a sue derivazioni... mi stupisco sempre più di come questa branca della matematica si estenda praticamente ovunque e anzi sia alla base di concetti che personalmente ho sempre ritenuto di natura diversa ma dovrò ricredermi. peccato che i corsi di studi in ingegneria non prevedano niente a riguardo e mi cruccio di non avere possibilità alcuna di approfondire la materia