Convergenza e somma di una serie
L'esercizio chiede:
Si studi la convergenza semplice, assoluta, uniforme e totale della serie
di potenze
$ \sum_{n=1}^{∞}(-1)^n(sin^nx)/(n+1) $
e si calcoli la somma
Io ho provato ad applicare Leibniz
$ \lim_{n \to ∞}(sin^nx)/(n+1) $ tende a zero
Adesso però devo trovare per quali valori di $ x $
$ (sin^nx)/(n+1) $ è decrescente e quindi per quali valori la derivata prima per $ n \to ∞ $ è negativa
Qui però non so che fare, perchè (dato che ho un'esponenziale a numeratore) facendo la derivata ottengo una funzione con $ senx, lnsenx... $
Si studi la convergenza semplice, assoluta, uniforme e totale della serie
di potenze
$ \sum_{n=1}^{∞}(-1)^n(sin^nx)/(n+1) $
e si calcoli la somma
Io ho provato ad applicare Leibniz
$ \lim_{n \to ∞}(sin^nx)/(n+1) $ tende a zero
Adesso però devo trovare per quali valori di $ x $
$ (sin^nx)/(n+1) $ è decrescente e quindi per quali valori la derivata prima per $ n \to ∞ $ è negativa
Qui però non so che fare, perchè (dato che ho un'esponenziale a numeratore) facendo la derivata ottengo una funzione con $ senx, lnsenx... $
Risposte
"Beppe95":
Adesso però devo trovare per quali valori di $ x $
$ (sin^nx)/(n+1) $ è decrescente
Se ci pensi bene ti accorgerai che non è veramente un problema.
In compenso, c'è il problema che il criterio di Leibniz non può essere usato per ogni \(x\) indistintamente...
"Raptorista":
[quote="Beppe95"]
Adesso però devo trovare per quali valori di $ x $
$ (sin^nx)/(n+1) $ è decrescente
Se ci pensi bene ti accorgerai che non è veramente un problema.
In compenso, c'è il problema che il criterio di Leibniz non può essere usato per ogni \(x\) indistintamente...[/quote]
Scusa, ma non ho capito cosa intendi
Come dovrei procedere?
Se ho capito bene, tu hai scritto che vuoi trovare per quali \(x\) quella frazione è decrescente in \(n\), giusto?
"Raptorista":
Se ho capito bene, tu hai scritto che vuoi trovare per quali \(x\) quella frazione è decrescente in \(n\), giusto?
Si
non bisogna procedere in questo modo?
Sì, per applicare il criterio di Leibniz, ma qui è immediato trovare la risposta.
"Raptorista":
Sì, per applicare il criterio di Leibniz, ma qui è immediato trovare la risposta.
E qual è?
Prova a dirmelo tu...
"Raptorista":
Prova a dirmelo tu...
Non so, spesso quando c'è il seno si sostituisce $ sin^n $ con $ (-1)^n $
Però dato che c'è la variabile x non penso i possa scrivere in quel modo
Ovviamente no, è richiesto uno sforzo mentale un filino superiore adesso: prova a valutare \(\sin(x)\) per qualche \(x\) e poi elevare alla \(n\) e cerca di capire per quali \(x\) il valore aumenta e per quali il valore diminuisce.
"Raptorista":
Ovviamente no, è richiesto uno sforzo mentale un filino superiore adesso: prova a valutare \(\sin(x)\) per qualche \(x\) e poi elevare alla \(n\) e cerca di capire per quali \(x\) il valore aumenta e per quali il valore diminuisce.
Forse ho capito che intendi
Per applicare Leibniz $ (sin^nx)/(n+1) $ deve essere maggiore di zero
quindi deve essere $ 0<=x<=π $
Per $ x=π/2 $, $ sin^nx=1 $ per ogni $ n $
$ (sin^nx)/(n+1) $ è decrescente, perchè all'aumentare di $ n $ il numeratore diminuisce o rimane costante, mentre il denominatore aumenta
Per $ π
È il ragionamento giusto?
Sulla prima parte ci hai azzeccato, ma sulla seconda mi sembra di no: per \(\pi < x < 2 \pi\) non si può più usare il criterio di Leibniz.
"Raptorista":
Sulla prima parte ci hai azzeccato, ma sulla seconda mi sembra di no: per \(\pi < x < 2 \pi\) non si può più usare il criterio di Leibniz.
Non è che mi puoi dare qualche altro suggerimento
Io quando c'è $ (-1)^n $ ho sempre utilizzato Leibniz, non so altri metodi
Questo perché non hai studiato bene la teoria.
Sul libro c'è scritto che se una serie contiene il pezzo \((-1)^n\) allora vale la tesi del criterio di Leibniz? Non c'è scritto, e non c'è scritto perché non è vero. Ci sarà scritto che se una serie è a segni alterni allora vale la tesi.
Sul libro c'è scritto che se una serie contiene il pezzo \((-1)^n\) allora vale la tesi del criterio di Leibniz? Non c'è scritto, e non c'è scritto perché non è vero. Ci sarà scritto che se una serie è a segni alterni allora vale la tesi.
"Raptorista":
Questo perché non hai studiato bene la teoria.
Sul libro c'è scritto che se una serie contiene il pezzo \((-1)^n\) allora vale la tesi del criterio di Leibniz? Non c'è scritto, e non c'è scritto perché non è vero. Ci sarà scritto che se una serie è a segni alterni allora vale la tesi.
Va bene, poi me la ripeto e vedo come si fa
Per la somma della serie per $ 0<=x<=π $ vanno bene questi passaggi?
pongo $ sinx=t $
$ \sum_{1}^{∞}(-t)^n/(n+1)=\sum_{1}^{∞}(-t)^(n+1)/(-t(n+1))= $
$ =-1/t\int \sum_{1}^{∞}(-t)^ndt=-1/t\int (1/(1+t)-1)dt=-1/tln(1+t)+1 $
Non mi piace come introduci l'integrale: quali sono gli estremi di integrazione? \(t\) dovrebbe essere negli estremi e non la variabile di integrazione.
"Raptorista":
Non mi piace come introduci l'integrale: quali sono gli estremi di integrazione? \(t\) dovrebbe essere negli estremi e non la variabile di integrazione.
Ok, grazie
Adesso so quali sono le parti che devo recuperare nello studio
Se mi puoi aiutare anche in questo problema te ne sarei molto grato
viewtopic.php?f=36&t=165170
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