Convergenza e risoluzione integrali
Ciao a tutti, ho questo integrale del quale devo studiare la convergenza e poi calcolarlo per a=3.
$int[0,∞] e^(-ax)/(1-e^(-2x))^(1/2)$
Capisco subito che devo studiarlo sia per infinito che per 0 in quanto il denominatore si annulla.
Studiandolo per x->0 uso taylor
$(1-ax)/(2x)^(1/2)$ a questo punto il numeratore non ha problemi in quanto è 1 e la x al denominatore ha esponente 1/2<1 quindi dovrebbe convergere per ogni a??
Per x->∞ ho: $1/e^(ax)$ quindi converge per a>1? in definitiva l'integale converge per a>1??
Studiando invece l'integrale che va da 0 a ∞, è un integrale con problema in 0 e ∞. Lo spezzo in due limiti tendenti uno a 0 ed uno a + infinito. A questo punto calcolo l'integrale provando la sostituzione:
$int e^(-3x)/(1-e^(-2x))^(1/2)$ t=e^(-x), dt=-e^(-x)--> $int -t^2/(1-t^2)^(1/2)$
A questo punto l'idea è di sostituire ancora con $t=sinu, du=costdt $ e mi trovo l'integrale di $sin^(2)u = (1-cos^2u)$ quindi il suo integrale è: $-u+1/2(u+sinu cosu)$ ritornando indietro ottengo.
$-1/2 arcsin(e^(-x)) + 1/2 sin(arcsin(e^(-x))) cos(arcsin(e^(-x)))$
A questo punto lo risolvo tra c,1 [con c--> 0] e tra 1,M [M->infinito]
Il problema è che wolfram alpha fa uscire come risultato $pi/4$ ma come posso calcolarlo senza strumenti se mi trovo ad es $arcsin (1/e) o (1-e^(-2))^(1/2)$
La soluzione che sto prendendo è giusta? la sostituzione iniziale, poi in seno e ritorno indietro tramite l'arcsin.
Grazie a tutti
$int[0,∞] e^(-ax)/(1-e^(-2x))^(1/2)$
Capisco subito che devo studiarlo sia per infinito che per 0 in quanto il denominatore si annulla.
Studiandolo per x->0 uso taylor
$(1-ax)/(2x)^(1/2)$ a questo punto il numeratore non ha problemi in quanto è 1 e la x al denominatore ha esponente 1/2<1 quindi dovrebbe convergere per ogni a??
Per x->∞ ho: $1/e^(ax)$ quindi converge per a>1? in definitiva l'integale converge per a>1??
Studiando invece l'integrale che va da 0 a ∞, è un integrale con problema in 0 e ∞. Lo spezzo in due limiti tendenti uno a 0 ed uno a + infinito. A questo punto calcolo l'integrale provando la sostituzione:
$int e^(-3x)/(1-e^(-2x))^(1/2)$ t=e^(-x), dt=-e^(-x)--> $int -t^2/(1-t^2)^(1/2)$
A questo punto l'idea è di sostituire ancora con $t=sinu, du=costdt $ e mi trovo l'integrale di $sin^(2)u = (1-cos^2u)$ quindi il suo integrale è: $-u+1/2(u+sinu cosu)$ ritornando indietro ottengo.
$-1/2 arcsin(e^(-x)) + 1/2 sin(arcsin(e^(-x))) cos(arcsin(e^(-x)))$
A questo punto lo risolvo tra c,1 [con c--> 0] e tra 1,M [M->infinito]
Il problema è che wolfram alpha fa uscire come risultato $pi/4$ ma come posso calcolarlo senza strumenti se mi trovo ad es $arcsin (1/e) o (1-e^(-2))^(1/2)$
La soluzione che sto prendendo è giusta? la sostituzione iniziale, poi in seno e ritorno indietro tramite l'arcsin.
Grazie a tutti
Risposte
Ciao scartus, vado di fretta quindi ti rispondo solo alla seconda parte; io sostituirei direttamente gli estremi di integrazione, infatti hai che ponendo $e^{-x}=t$ risulta che per $x=0$ si ha che $t=1$ mentre per $x \to +\infty$ si ha che $t \to 1$.
Pertanto
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-3x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}} \text{d}x=\int_{1}^{0} -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} \text{d}t$$
Nuovamente sostituiamo, ponendo $t=\sin u$; perciò risulta che quando $t \to 1$ si ha che $u=\frac{\pi}{2}$ mentre quando $t=0$ si ottiene che $u=0$; dunque
$$\int_{1}^{0} -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} -\sin^2 u \text{d}u=\left[-\frac{1}{2}u+\frac{1}{4} \sin(2u)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{0}=\frac{\pi}{4}$$
Perciò il tuo approccio è corretto, forse c'è semplicemente qualche errore di calcolo!
Chiaramente, a rigore va fatto con i limiti tendenti ai "punti problematici".
Se non ti avrà risposto nessuno, appena mi libero ti rispondo anche alla prima!
Pertanto
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-3x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}} \text{d}x=\int_{1}^{0} -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} \text{d}t$$
Nuovamente sostituiamo, ponendo $t=\sin u$; perciò risulta che quando $t \to 1$ si ha che $u=\frac{\pi}{2}$ mentre quando $t=0$ si ottiene che $u=0$; dunque
$$\int_{1}^{0} -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} -\sin^2 u \text{d}u=\left[-\frac{1}{2}u+\frac{1}{4} \sin(2u)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{0}=\frac{\pi}{4}$$
Perciò il tuo approccio è corretto, forse c'è semplicemente qualche errore di calcolo!
Chiaramente, a rigore va fatto con i limiti tendenti ai "punti problematici".
Se non ti avrà risposto nessuno, appena mi libero ti rispondo anche alla prima!
Cosa accade per $a>= 0$?
Non mi pare che $1/(e^(ax))$ dia problemi in $oo$ per $0< a<= 1$. Perché?
Non mi pare che $1/(e^(ax))$ dia problemi in $oo$ per $0< a<= 1$. Perché?
L'approccio che ho tentato è stato più lungo e soggetto ad errore di calcolo come hai detto. Ovviamente il tuo è più pulito, ma in questo caso come/quando faccio il limite nei punti problematici come dici tu? Ci avevo provato ma mi portavo dietro la c/M che avevo cambiato per il limite ed è diventato ancora peggio.
Grazie del consiglio!
Grazie del consiglio!
La tua primitiva è corretta, ho verificato.
Perciò, detta $F(x):=-\frac{1}{2}\arcsin(e^{-x})+\frac{1}{2}\sin(\arcsin e^{-x}) \cos (\arcsin e^{-x})$, basta fare
$$\lim_{M \to +\infty} F(M) - \lim_{\varepsilon \to 0^+} F(\varepsilon)=$$
$$=-\frac{1}{2} \arcsin(0)+\frac{1}{2}\sin(0) \cos(\sin 0)-\left[\frac{1}{2}\arcsin(1)+\frac{1}{2}\sin(\arcsin 1) \cos (\arcsin1)\right]=\frac{\pi}{4}$$
Per quanto riguarda la convergenza, rifletti sulle domande di gugo82!
Perciò, detta $F(x):=-\frac{1}{2}\arcsin(e^{-x})+\frac{1}{2}\sin(\arcsin e^{-x}) \cos (\arcsin e^{-x})$, basta fare
$$\lim_{M \to +\infty} F(M) - \lim_{\varepsilon \to 0^+} F(\varepsilon)=$$
$$=-\frac{1}{2} \arcsin(0)+\frac{1}{2}\sin(0) \cos(\sin 0)-\left[\frac{1}{2}\arcsin(1)+\frac{1}{2}\sin(\arcsin 1) \cos (\arcsin1)\right]=\frac{\pi}{4}$$
Per quanto riguarda la convergenza, rifletti sulle domande di gugo82!
Come ha detto Gugo, non ci sono problemi ad infinito.
Per la soluzione invece io averei fatto tutto in un botto solo sostituendo $u=sqrt(1-e^(-2x))$ ottenendo $ int_(0)^(1) (1-u^2)^((a-2)/2) du $
Il problema è a 1, quindi per $a>0$ converge.
Per $a=3$ l'integrale è un quarto dell'area di una circonferenza centrata nell'orgine e di raggio 1, quindi $pi/4$
Per la soluzione invece io averei fatto tutto in un botto solo sostituendo $u=sqrt(1-e^(-2x))$ ottenendo $ int_(0)^(1) (1-u^2)^((a-2)/2) du $
Il problema è a 1, quindi per $a>0$ converge.
Per $a=3$ l'integrale è un quarto dell'area di una circonferenza centrata nell'orgine e di raggio 1, quindi $pi/4$
"gugo82":
Cosa accade per $a>= 0$?
Non mi pare che $1/(e^(ax))$ dia problemi in $oo$ per $0< a<= 1$. Perché?
Ciao gugo, grazie per la risposta.
Ho indubbiamente dei problemi al riguardo. Per quale x tendente a qualcosa devo studiarla in generale?
Io ho pensato a 0 perche annulla il denominatore, ed ho pensato a infinito perche se a<0 l'integrale diverge perche avrei al nominatore e^x.
Ad infinito quindi mi viene da pensare che converge per a>0 (in modo che trovo e^x al denominatore).
A 0 però non ho trovato nessun riscontro.
(rimanendo a infinito, mi sono sbagliato qui? 1/x^a per a>1 e 1/e^ax per a>0)
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