Convergenza dominata
Sia $ F(w)=int_(-oo )^(+oo ) x/(x^2-(1+idelta)^2)^2 e^(iwx) dx $ le $ F(w) $ dipendono ovviamente da $ delta $ .
Lo scopo è quello di calcolare $ lim_(delta -> o) F(w) $ applicando il teorema della convergenza dominata.
Ammesso che si possa, fare il calcolo del limite diviene semplice. Poichè, ponendo $ delta=0 $ sotto il segno di integrale ci si può ricondurre ad una trasformata di Foureir nota.
Vediamo un attimo come:
l'integrale diviene $ int_()^() x/(x^2-1)^2 e^(iwx) dx $ .
Detto $ G(x)=x/(x^2-1)^2 $ si vede immediatamente che $ G(x)=-1/2(d/dx 1/(x^2-1)) $
Batteziamo $ H(x)=1/(x^2-1 $
Si avrà, quindi che la trasformata di $ G(x) $ vale $ -1/2*(-iw) $ per la trasformata di $ H(x) $ .
Ma quest'ultima è nota, o facilmente calcolabile e vale $ pi/i*e^(-i|w|) $ .
Rimettendo assime i pezzi si ha che: $ lim_(delta -> o) F(w) =pi/2*w*e^(-i|w|) $
Il punto critico in tutto questo per me è che non riesco a trovare una funzione che domini le $ F(w) $ indipendentemente da $ delta $. Per cui non riesco a giustificare il passaggio del limite sotto il segno di integrale. Avete suggerimenti?
Lo scopo è quello di calcolare $ lim_(delta -> o) F(w) $ applicando il teorema della convergenza dominata.
Ammesso che si possa, fare il calcolo del limite diviene semplice. Poichè, ponendo $ delta=0 $ sotto il segno di integrale ci si può ricondurre ad una trasformata di Foureir nota.
Vediamo un attimo come:
l'integrale diviene $ int_()^() x/(x^2-1)^2 e^(iwx) dx $ .
Detto $ G(x)=x/(x^2-1)^2 $ si vede immediatamente che $ G(x)=-1/2(d/dx 1/(x^2-1)) $
Batteziamo $ H(x)=1/(x^2-1 $
Si avrà, quindi che la trasformata di $ G(x) $ vale $ -1/2*(-iw) $ per la trasformata di $ H(x) $ .
Ma quest'ultima è nota, o facilmente calcolabile e vale $ pi/i*e^(-i|w|) $ .
Rimettendo assime i pezzi si ha che: $ lim_(delta -> o) F(w) =pi/2*w*e^(-i|w|) $
Il punto critico in tutto questo per me è che non riesco a trovare una funzione che domini le $ F(w) $ indipendentemente da $ delta $. Per cui non riesco a giustificare il passaggio del limite sotto il segno di integrale. Avete suggerimenti?
Risposte
Sto provando in mille modi ma mi sembra che per i $ delta $ piccoli non ci sia speranza di dominare, d'altro canto non saprei come dimostrare che la funzione non può essere dominata
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