Convergenza \(\displaystyle \sum a^\left(ln\left(n\right)\right) \)

[Blackleones]

Non riesco a capire come calcolare per quale valore di \(\displaystyle a \) questa serie converga. La soluzione è per \(\displaystyle a < \frac{1}{e} \)

\(\displaystyle \sum a^\left(ln\left(n\right)\right) \)

qualcuno può aiutarmi a capire come faccio a calcolare ciò? wolfram mi dice che la soluzione è \(\displaystyle log(|a|)+1 < 0 \) ma anche qui non capisco come abbia fatto.

Scusate per il disturbo e per l'esercizio fin troppo semplice (non per me.. purtroppo!)

[gugo82]

Si può risolvere applicando la condensazione di Cauchy.

Chiaramente, ha da essere \(0\leq a<1\), altrimenti non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza.

Preso \(a<1\), la successione \(a^{\ln n}\) è decrescente a termini positivi, perciò applichiamo il criterio di condensazione di Cauchy e studiamo la serie condensata:
\[
\begin{split}
\sum 2^n\ a^{\ln 2^n} &= \sum 2^n\ a^{n\ \ln 2}\\
&= \sum \left( 2\ a^{\ln 2}\right)^n\; .
\end{split}
\]
La serie condensata è geometrica di ragione \(2\ a^{\ln 2}>0\) e converge solo se risulta:
\[
2\ a^{\ln 2}<1
\]
da cui:
\[
\log_2 a^{\ln 2} < \log_2 \frac{1}{2} =-1
\]
ossia, per cambiamento di base:
\[
\cancel{\ln 2}\ \frac{\ln a}{\cancel{\ln 2}} = \ln 2\ \log_2 a<-1\; ,
\]
che equivale ad \(a<1/e\).

Simpatico come esercizio... Da dove proviene?

[Blackleones]

l'esercizio viene da questo esame: http://users.dma.unipi.it/berselli/dida ... 010AnI.pdf pagina 35 esercizio 1

ps: il prof quest'anno non ha detto nulla a riguardo del metodo che hai appena proposto