Convergenza di una serie di potenze
Ciao a tutti, non riesco a capire un esercizio sulle serie:
Trovare il raggi odi convergenza della serie: $\sum_(k=1)^(\infty)(k!x^k)/k^k$, ho letto un appunto dove diceva che in caso di serie contenenti termini fattoriali, per calcolarne la convergenza è spesso una buona cosa optare per il criterio del rapporto!
Quindi io ci provo: $lim_(k\to\infty)((k+1)!x^(k+1))/(k+1)^(k+1) : (k!x^k)/k^k = lim_(k\to\infty)((k+1)xk^k)/(k+1)^(k+1) = lim_(k\to\infty)(k^k*x)/(k+1)^k$ ... ora, posto $c_n = k^k/(k+1)^k$,
posso applicare di nuovo il metodo della radice a $c_n$? $lim_(k\to\infty)root(k)(k^k/(k+1)^k) = 1/(k+1) = 0$ ?
oppure devo fare così: $lim_(k\to\infty)(k^k*x)/(k+1)^k=lim_(k\to\infty)(e^(k*ln(k))*e^ln(x))/(e^(k*ln(k+1))) = lim_(k\to\infty)(e^(k*ln(k))*x)/(e^(k*ln(k+1)))$
Posso considerare $c_n=e^(k*ln(k))/(e^(k*ln(k+1)))$ e calcolarne il limite lasciando in disparte $x$? ho visto che c'è chi fa
il limite solo della parte $c_n$ lasciando la $x$ in disparte... potete darmi qualche consiglio?
grazie
Trovare il raggi odi convergenza della serie: $\sum_(k=1)^(\infty)(k!x^k)/k^k$, ho letto un appunto dove diceva che in caso di serie contenenti termini fattoriali, per calcolarne la convergenza è spesso una buona cosa optare per il criterio del rapporto!
Quindi io ci provo: $lim_(k\to\infty)((k+1)!x^(k+1))/(k+1)^(k+1) : (k!x^k)/k^k = lim_(k\to\infty)((k+1)xk^k)/(k+1)^(k+1) = lim_(k\to\infty)(k^k*x)/(k+1)^k$ ... ora, posto $c_n = k^k/(k+1)^k$,
posso applicare di nuovo il metodo della radice a $c_n$? $lim_(k\to\infty)root(k)(k^k/(k+1)^k) = 1/(k+1) = 0$ ?
oppure devo fare così: $lim_(k\to\infty)(k^k*x)/(k+1)^k=lim_(k\to\infty)(e^(k*ln(k))*e^ln(x))/(e^(k*ln(k+1))) = lim_(k\to\infty)(e^(k*ln(k))*x)/(e^(k*ln(k+1)))$
Posso considerare $c_n=e^(k*ln(k))/(e^(k*ln(k+1)))$ e calcolarne il limite lasciando in disparte $x$? ho visto che c'è chi fa
il limite solo della parte $c_n$ lasciando la $x$ in disparte... potete darmi qualche consiglio?
grazie
Risposte
Io mi fermerei al penultimo passaggio del primo rigo e scriverei il limite ( che chiamo L ) così:
\(\displaystyle L=\cdot\lim_{k->\infty } \left|x\cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{k})^k}\right|=\left|\frac{x}{e}\right|\)
Perciò l'intervallo I di convergenza è \(\displaystyle (-e,+e) \)
In ogni intervallo contenuto nell'interno di I la serie converge totalmente ( e quindi anche uniformemente).
Se poi converge, in modo assoluto, anche per \(\displaystyle x=\pm e \), allora la serie converge totalmente ( e quindi anche uniformemente) in tutto I. Se la convergenza negli estremi non è assoluta, allora la serie converge uniformemente ma non totalmente .
Salvo errori od omissioni.
\(\displaystyle L=\cdot\lim_{k->\infty } \left|x\cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{k})^k}\right|=\left|\frac{x}{e}\right|\)
Perciò l'intervallo I di convergenza è \(\displaystyle (-e,+e) \)
In ogni intervallo contenuto nell'interno di I la serie converge totalmente ( e quindi anche uniformemente).
Se poi converge, in modo assoluto, anche per \(\displaystyle x=\pm e \), allora la serie converge totalmente ( e quindi anche uniformemente) in tutto I. Se la convergenza negli estremi non è assoluta, allora la serie converge uniformemente ma non totalmente .
Salvo errori od omissioni.
grazie mille... a me non è passata manco per l'anticamera del cervello questa soluzione :\
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