Convergenza di una serie, con parametro.

[galles90]

Buongiorno,
sto studiando le serie, in particolare quelle con parametro.

Ho il seguente esercizio dove mi chiede di determinare per quali valore del parametro $a in mathbb{R}$, si ha la convergenza della seguente serie :

$sum_1^(+infty)n[(n^(3a)+n^a)^(1/3)-n^a]$

si osserva che il termine $a_n>0 forall n ge 1$, quindi è possibile applicare il criterio del confronto, cioè possiamo notare :

$forall n in mathbb{N}$,$forall b in mathbb{Z}$,

$(n)^(1/b) le n to (n^(3a)+n^a)^(1/3) le n^(3a)+n^a .$

Allora
$a_n le n[n^(3a)+n^a-n^a]=n[n^(3a)]=n^(3a+1)=b_n$

per il criterio del confronto

se $sum_1^(+infty)b_n$ converge, allora converge anche $sum_1^(+infty)a_n.$
$sum_1^(+infty)b_n=sum_1^(+infty)n^(3a+1)=sum_1^(+infty)1/n^(-3a-1)$

quest'ultima converge se $-3a-1<1 to a>(-2/3)$

Quindi la serie di partenza converge per $ a in mathbb{R}:a>(-2/3) $.

Cordiali saluti.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che non ho controllato il tuo procedimento, mediante il confronto asintotico:

1. $[3a gt a] rarr [a gt 0]$ si raccoglie $n^(3a)$

$n[(n^(3a)+n^a)^(1/3)-n^a]=n[n^a(1+n^(-2a))^(1/3)-n^a]=n^(a+1)[(1+n^(-2a))^(1/3)-1]=$

$=n^(a+1)[1+1/3n^(-2a)+o(n^(-2a))-1]=1/3n^(-a+1)+o(n^(-a+1))$

$[-a+1 lt -1] harr [a gt 2]$ converge

2. $[3a lt a] rarr [a lt 0]$ si raccoglie $n^a$

$n[(n^(3a)+n^a)^(1/3)-n^a]=n[n^(1/3a)(1+n^(2a))^(1/3)-n^a]=n^(1/3a+1)[(1+n^(2a))^(1/3)-n^(2/3a)]=$

$=n^(1/3a+1)+o(n^(1/3a+1))$

$[1/3a+1 lt -1] harr [a lt -6]$ converge

Soluzione

$[a lt -6] vv [a gt 2]$ converge

A questo punto, ti invito a riconsiderare quello che hai scritto.

[galles90]

Ciao Sergeant Elias,
grazie per la risposta.

Come detto, ho da poco iniziato lo studio delle serie, i pochi esercizi che ho visto anche quelli con parametro, discutono il parametro alla fine dell'esercizio e non all'inizio.

Potresti dirmi perchè l'hai fatto all'inizio?

E' sola una domanda di curiosità, in quanto vorrei capire se è un procedimento che applichi tu in merito a tali esercizi, oppure in particolare a questo esercizio.

Cordiali saluti.

[anonymous_0b37e9]

Perchè in questo esercizio, a seconda dei casi, lo stesso procedimento richiede un raccoglimento diverso:

1. $[a gt 0]$ si raccoglie $n^(3a)$

2. $[a lt 0]$ si raccoglie $n^a$

[pilloeffe]

Ciao galles90,

In alternativa si poteva anche considerare che si ha:

$ x - y = (x^(1/3)-y^(1/3))(x^(2/3)+ x^(1/3)y^(1/3) + y^(2/3)) \implies x^(1/3)-y^(1/3) = \frac{x - y}{x^(2/3)+ x^(1/3)y^(1/3) + y^(2/3)} $

Nel tuo caso $x := n^{3a}+n^a $ e $y := n^{3a} $, per cui si ha:

$(n^{3a}+n^a)^{1/3} - n^a = (n^{3a}+n^a)^{1/3} - (n^{3a})^{1/3} = $
$ = \frac{n^{3a}+n^a - n^{3a}}{(n^{3a}+n^a)^(2/3)+ (n^{3a}+n^a)^(1/3)n^a + n^{2a}} = \frac{n^a}{(n^{3a}+n^a)^(2/3)+ (n^{3a}+n^a)^(1/3)n^a + n^{2a}} = $
$ = \frac{1}{(n^{(3a)/2}+n^{-a/2})^(2/3)+ (n^{3a}+n^a)^(1/3) + n^{a}} $

Quindi si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n[(n^(3a)+n^a)^(1/3)-n^a] = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n}{(n^{(3a)/2}+n^{-a/2})^(2/3)+ (n^{3a}+n^a)^(1/3) + n^{a}} $

[galles90]

Grazie ad entrambi, siete stati d'aiuto.
Ciao