Convergenza di una serie al variare di un parametro reale
ciao a tutti.
io avrei un piccolo dubbio sulla seguente serie
$\sum_{k=1}^N (1/n - sin((e^b)/n))/n^((b-6)/4) $
dove devo stabilire per quali valori di b reale la serie converge.
La prima cosa che ho fatto è stato osservare che l'argomento del seno è un infinitesimo, e quindi ho pensato di utilizzare uno sviluppo di taylor fermandomi al primo ordine, così da avere la seguente forma
$ ((1 - e^b)/n)/n^((b-6)/4) $
da qui, facendo un paio di calcoli, ottengo
$ (1 - e^b)/n^((b-6)/4 + 1) = (1 - e^b)/n^((b-2)/4 $
che è il termine generale che vado a confrontare con la serie $\sum_{k=1}^N 1/n^a $ che so essere convergente per 0 < a < 1 (giusto?)
ora, considero la mia serie come $ C * 1/n^((b-2)/4 $ , dove $ C = (1 - e^b) $, e visto che se io moltiplico per una costante il termine generale della mia serie la sua convergenza non cambia, stabilisco in pochi passaggi che la mia serie converge per:
$ 0< (b-2)/4 < 1 $ da cui $ 2 < b < 6 $
ecco, dopo tutto questo io non sono convinto di aver fatto tutto giusto. Potreste dirmi se il mio ragionamento è corretto oppure no? E nel caso in cui non lo fosse potreste anche indicarmi dove correggere ed eventualmente un metodo migliore di procedere?
grazie in anticipo e scusate se ho lasciato da parte un po' di simboli di asintotico e qualche o-piccolo
io avrei un piccolo dubbio sulla seguente serie
$\sum_{k=1}^N (1/n - sin((e^b)/n))/n^((b-6)/4) $
dove devo stabilire per quali valori di b reale la serie converge.
La prima cosa che ho fatto è stato osservare che l'argomento del seno è un infinitesimo, e quindi ho pensato di utilizzare uno sviluppo di taylor fermandomi al primo ordine, così da avere la seguente forma
$ ((1 - e^b)/n)/n^((b-6)/4) $
da qui, facendo un paio di calcoli, ottengo
$ (1 - e^b)/n^((b-6)/4 + 1) = (1 - e^b)/n^((b-2)/4 $
che è il termine generale che vado a confrontare con la serie $\sum_{k=1}^N 1/n^a $ che so essere convergente per 0 < a < 1 (giusto?)
ora, considero la mia serie come $ C * 1/n^((b-2)/4 $ , dove $ C = (1 - e^b) $, e visto che se io moltiplico per una costante il termine generale della mia serie la sua convergenza non cambia, stabilisco in pochi passaggi che la mia serie converge per:
$ 0< (b-2)/4 < 1 $ da cui $ 2 < b < 6 $
ecco, dopo tutto questo io non sono convinto di aver fatto tutto giusto. Potreste dirmi se il mio ragionamento è corretto oppure no? E nel caso in cui non lo fosse potreste anche indicarmi dove correggere ed eventualmente un metodo migliore di procedere?
grazie in anticipo e scusate se ho lasciato da parte un po' di simboli di asintotico e qualche o-piccolo
Risposte
"fenghuang":
che è il termine generale che vado a confrontare con la serie $\sum_{k=1}^N 1/n^a $ che so essere convergente per 0 < a < 1 (giusto?)
Ciao e benvenuto
$\sum_{n=1}^N 1/n^a $ converge per $a > 1$ e diverge per $a <= 1$
si scusa errore banale, grazie per avermelo fatto notare. Quindi correggendo la serie converge per:
$ b> 6 $
Però più che nel passaggio finale(che ovviamente ho sbagliato), volevo sapere se il resto del ragionamento fosse corretto
$ b> 6 $
Però più che nel passaggio finale(che ovviamente ho sbagliato), volevo sapere se il resto del ragionamento fosse corretto
Corretto il passaggio della convergenza della serie armonica, tutto il resto va bene!
ok, grazie mille a tutti e due
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