Convergenza di una serie al variare di un parametro
Ciao,
mi sono imbattuto in questa serie $\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^2+n^\alpha)-n)/ln(n)$ per $\alpha in RR$ e non riesco a capire perché converga per $\alpha <0$.
Se $\alpha <0$ allora $sqrt(n^2 + n^(\alpha))$ dovrebbe andare all'infinito come $n$ e sarei nella situazione $(n-n)/ln(n)$
Il mio ragionamento è sbagliato?
mi sono imbattuto in questa serie $\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n^2+n^\alpha)-n)/ln(n)$ per $\alpha in RR$ e non riesco a capire perché converga per $\alpha <0$.
Se $\alpha <0$ allora $sqrt(n^2 + n^(\alpha))$ dovrebbe andare all'infinito come $n$ e sarei nella situazione $(n-n)/ln(n)$
Il mio ragionamento è sbagliato?
Risposte
Sviluppa con Taylor la radice dopo aver raccolto $n^2$.
Cosa intendi dire?
Se io ho $sqrt(n^2 + n^(-\alpha))$ (con $-\alpha$ intendo un numero negativo), raccogliendo $n^2$ avrei $sqrt(n^2(1+1/( n^(2+\alpha)))$ che è come $n*(1+1/( n^(2+\alpha)))^(1/2)$ e sviluppando la radice con Taylor avrei $n*(1+ 1/2 * 1/( n^(2+\alpha)))$ che all'infinito vale $n * (1+0)$
e mi trovo nella stessa situazione di prima.
Se io ho $sqrt(n^2 + n^(-\alpha))$ (con $-\alpha$ intendo un numero negativo), raccogliendo $n^2$ avrei $sqrt(n^2(1+1/( n^(2+\alpha)))$ che è come $n*(1+1/( n^(2+\alpha)))^(1/2)$ e sviluppando la radice con Taylor avrei $n*(1+ 1/2 * 1/( n^(2+\alpha)))$ che all'infinito vale $n * (1+0)$
e mi trovo nella stessa situazione di prima.
Ciao pepper9,
Comincerei con l'osservare che la serie non può partire da $n = 1 $, altrimenti si annulla il logaritmo a denominatore. Pertanto si assumerà che la serie proposta sia la seguente:
$ \sum_{n=2}^(+\infty) (sqrt(n^2+n^\alpha)-n)/ln(n) $
Per vedere meglio le cose poi moltiplicherei numeratore e denominatore per $ sqrt(n^2+n^\alpha)+n $, in modo da aversi
$ \sum_{n=2}^(+\infty) (sqrt(n^2+n^\alpha)-n)/ln(n) = \sum_{n=2}^(+\infty) (n^\alpha)/((sqrt(n^2+n^\alpha)+n)ln(n)) $
Si vede subito che per $\alpha = 0 $ la serie proposta diverge per confronto con la serie armonica generalizzata di tipo II che puoi trovare qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armonica
Ora dovresti riuscire a completare l'esercizio...
Comincerei con l'osservare che la serie non può partire da $n = 1 $, altrimenti si annulla il logaritmo a denominatore. Pertanto si assumerà che la serie proposta sia la seguente:
$ \sum_{n=2}^(+\infty) (sqrt(n^2+n^\alpha)-n)/ln(n) $
Per vedere meglio le cose poi moltiplicherei numeratore e denominatore per $ sqrt(n^2+n^\alpha)+n $, in modo da aversi
$ \sum_{n=2}^(+\infty) (sqrt(n^2+n^\alpha)-n)/ln(n) = \sum_{n=2}^(+\infty) (n^\alpha)/((sqrt(n^2+n^\alpha)+n)ln(n)) $
Si vede subito che per $\alpha = 0 $ la serie proposta diverge per confronto con la serie armonica generalizzata di tipo II che puoi trovare qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armonica
Ora dovresti riuscire a completare l'esercizio...
Per quale motivo è sbagliato considerare $\alpha > 2$ e $\alpha < 2$?
"pepper9":
Per quale motivo è sbagliato considerare $\alpha > 2 $ e $\alpha < 2 $?
Mi faresti vedere dove Mephlip od io abbiamo scritto questo?
"pepper9":
mi trovo nella stessa situazione di prima.
Fai bene i conti, viene
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2+n^{-\alpha}}-n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n \sqrt{1+\frac{1}{n^{\alpha+2}}}-n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n \left(1 +\frac{1}{2n^{\alpha+2}} +o\left(\frac{1}{n^{\alpha+2}} \right) \right) -n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n+\frac{1}{2n^{\alpha+1}}+o\left(\frac{1}{n^{\alpha+1}}\right) -n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2n^{\alpha+1}}+o\left(\frac{1}{n^{\alpha+1}}\right)}{\ln (n)}$$
E la serie con questa successione associata quando converge?
"Mephlip":
[quote="pepper9"]mi trovo nella stessa situazione di prima.
Fai bene i conti, viene
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2+n^{-\alpha}}-n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n \sqrt{1+\frac{1}{n^{\alpha+2}}}-n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n \left(1 +\frac{1}{2n^{\alpha+2}} +o\left(\frac{1}{n^{\alpha+2}} \right) \right) -n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{n+\frac{1}{2n^{\alpha+1}}+o\left(\frac{1}{n^{\alpha+1}}\right) -n}{\ln (n)}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2n^{\alpha+1}}+o\left(\frac{1}{n^{\alpha+1}}\right)}{\ln (n)}$$
E la serie con questa successione associata quando converge?[/quote]
Per $\alpha >0$?
Esatto, ma tu hai considerato $-\alpha$ con $\alpha>0$ per indicare $\alpha<0$, pertanto la convergenza c'è per $\alpha<0$.
Ti consiglio di usare un'altra lettera per evitare confusione: se vuoi denotare che $\alpha$ è negativo, chiamalo $-\beta$ con $\beta>0$ per poi tornare in $\alpha$ prima della discussione finale di convergenza.
P.S.: Se rispondi al messaggio appena precedente non c'è bisogno di citare tutto, eventualmente puoi citare dei punti specifici che non ti sono chiari o a cui ti riferisci
Ti consiglio di usare un'altra lettera per evitare confusione: se vuoi denotare che $\alpha$ è negativo, chiamalo $-\beta$ con $\beta>0$ per poi tornare in $\alpha$ prima della discussione finale di convergenza.
P.S.: Se rispondi al messaggio appena precedente non c'è bisogno di citare tutto, eventualmente puoi citare dei punti specifici che non ti sono chiari o a cui ti riferisci
Ok grazie mille... sei stato di grande aiuto!
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