Convergenza di una serie al variare di un parametro
ciao a tutti,
ho dei problemi con un esercizio che dice: stabilire per quali valori di $x$ le seguenti serie convergono:
$\sum_(k=1)^\infty (k^2x^k)/6^k$, ho pensato che fosse piu' comodo usare il metodo della radice invece che il metodo del rapporto, quindi calcolo il limite:
$lim_(k\to\infty)(root(k)((k^2x^k)/6^k)) = lim_(k\to\infty)(root(k)(k^2)x/6)$ ... ora... dato che $x$ è una costante, dato che lo scelgo io (sbaglio?), pure $1/6$ è costante, quindi posso scrivere:
$x/6* lim_(k\to\infty)(root(k)(k^2)) = x/6 * lim_(k\to\infty)k^(2/k) = x/6 * \infty^0$ il che è una orma indeterminata. Provo a razionalizzare:
$x/6 *lim_(k\to\infty)(root(k)(k^2)) *((root(k)(k^2))/(root(k)(k^2)))=x/6 *lim_(k\to\infty)k^2 /(root(k)(k^2))$ ora sarei tentato di fare una cosa:
$x/6 *lim_(k\to\infty)k^2 /(k^2 root(k)(1/k^(n-2))) = x/6 *lim_(k\to\infty)1 /(root(k)(1/k^(n-2))) = x/6 * 1/root(k)(0) = \infty$ quindi non converge ... pero' ... il risultato non è giusto! consigli?
ho dei problemi con un esercizio che dice: stabilire per quali valori di $x$ le seguenti serie convergono:
$\sum_(k=1)^\infty (k^2x^k)/6^k$, ho pensato che fosse piu' comodo usare il metodo della radice invece che il metodo del rapporto, quindi calcolo il limite:
$lim_(k\to\infty)(root(k)((k^2x^k)/6^k)) = lim_(k\to\infty)(root(k)(k^2)x/6)$ ... ora... dato che $x$ è una costante, dato che lo scelgo io (sbaglio?), pure $1/6$ è costante, quindi posso scrivere:
$x/6* lim_(k\to\infty)(root(k)(k^2)) = x/6 * lim_(k\to\infty)k^(2/k) = x/6 * \infty^0$ il che è una orma indeterminata. Provo a razionalizzare:
$x/6 *lim_(k\to\infty)(root(k)(k^2)) *((root(k)(k^2))/(root(k)(k^2)))=x/6 *lim_(k\to\infty)k^2 /(root(k)(k^2))$ ora sarei tentato di fare una cosa:
$x/6 *lim_(k\to\infty)k^2 /(k^2 root(k)(1/k^(n-2))) = x/6 *lim_(k\to\infty)1 /(root(k)(1/k^(n-2))) = x/6 * 1/root(k)(0) = \infty$ quindi non converge ... pero' ... il risultato non è giusto! consigli?
Risposte
Quello standard di questi casi,
ovvero ricordare,ai fini del calcolo di quel limite,che un corollario al teorema della media geometrica t'assicura come,
se $EElim_(kto oo)(a_(k+1))/(a_k)=l in RR$,allora $EElim_(k to oo)(a_k)^(1/k)=l$:
applicalo al caso $a_k=k^2$ $AAk inRR$,e ti salteranno fuori cose interessanti da dedurre da quanto avevi(opportunamente..)attenzionato in partenza
!
Saluti dal web.
ovvero ricordare,ai fini del calcolo di quel limite,che un corollario al teorema della media geometrica t'assicura come,
se $EElim_(kto oo)(a_(k+1))/(a_k)=l in RR$,allora $EElim_(k to oo)(a_k)^(1/k)=l$:
applicalo al caso $a_k=k^2$ $AAk inRR$,e ti salteranno fuori cose interessanti da dedurre da quanto avevi(opportunamente..)attenzionato in partenza
!Saluti dal web.
cavolo, comunque tenti di calcolarlo mi viene $\infty$ sia col criterio del rapporto che con la radice...
Perchè stai facendo confusione con le operazioni lecite sugli esponenti frazionari,direi:
saluti dal web.
P.S.Non sò da dove mi sia uscita la parola indici in luogo di esponenti
(in realtà si,ma soprassiedo per evitarti una filippica OT sui pro e contro del Calcolo Numerico
):
me ne scuso ed ho corretto..
saluti dal web.
P.S.Non sò da dove mi sia uscita la parola indici in luogo di esponenti
(in realtà si,ma soprassiedo per evitarti una filippica OT sui pro e contro del Calcolo Numerico
):me ne scuso ed ho corretto..
lol, stavo gia' googlando gli "indici frazionari" 
comunque ci penso sopra e poi spero di venirne a capo!
comunque ci penso sopra e poi spero di venirne a capo!
ricordati che se vuoi applicare il criterio della radice devi assicurarti che il termine generale sia positivo; quella lì non è una serie a termini positivi, quindi in realtà dovresti considerare il valore assoluto del termine generale e studiare la convergenza assoluta (sperando che ci sia!) con qualunque criterio ritieni utile per le serie a termini positivi:
\begin{align}
\left|\frac{n^2}{6^n} x^n\right|= \frac{n^2}{6^n} |x|^n
\end{align}
a questo termine generale puoi applicare il criterio della radice, perchè hai una serie a termini positivi
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{ \frac{n^2}{6^n} |x|^n}=\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{6^n} }|x| =\lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac{2}{n}}}{6 } |x| =\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{\frac{2\ln}{n}}}{6 } |x| =\frac{|x|}{6}
\end{align}
a questo punto puoi discutere il carattere della serie, al variare del paramentro $x.$
\begin{align}
\left|\frac{n^2}{6^n} x^n\right|= \frac{n^2}{6^n} |x|^n
\end{align}
a questo termine generale puoi applicare il criterio della radice, perchè hai una serie a termini positivi
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{ \frac{n^2}{6^n} |x|^n}=\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{6^n} }|x| =\lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac{2}{n}}}{6 } |x| =\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{\frac{2\ln}{n}}}{6 } |x| =\frac{|x|}{6}
\end{align}
a questo punto puoi discutere il carattere della serie, al variare del paramentro $x.$
"Noisemaker":
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{ \frac{n^2}{6^n} |x|^n}=\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{6^n} }|x| =\lim_{n\to+\infty} \frac{n^{\frac{2}{n}}}{6 } |x| =\lim_{n\to+\infty} \frac{e^{\frac{2\ln}{n}}}{6 } |x| =\frac{|x|}{6}
\end{align}
Scusa non ho capito come hai fatto a passare, dal terzo al quarto passaggio, al numeratore: da $n^(2/n)$ a $e^((2ln)/n)$,
non dovrebbe essere: $n^(2/n) = e^(2/n*ln(n))$ è un errore di battitura?
Se invece prendo questo esercizio: $\sum_(k=1)^\infty x^k/sqrt(k*2^k)$ ottengo che devo trovare il limite: $L= lim_(k\to\infty) |x^k|/sqrt(k*2^k)$,
$lim_(k\to\infty) root(k)(|x^k|/sqrt(k*2^k)) =lim_(k\to\infty) |x|/(root(k)(sqrt(k))*\sqrt(2)) = |x|/\sqrt(2) = L$,
quindi: raggio di ocnvergenza $r = 1/L=\sqrt(2)/|x|$, quindi la mia serie converge per $x\in(-sqrt(2), sqrt(2))$.
Non ho ben capito il motivo e il modo in cui si arriva da $r = 1/L=\sqrt(2)/|x|$ a $x\in(-sqrt(2), sqrt(2))$, qualcuno puo' darmi una spiegazione per favore?
Affinchè il criterio della radice che hai applicato non risulti inefficacie, il valore del limite deve essere minore di uno, cioè:
\begin{align*}
.... = \frac{|x|}{\sqrt 2} =\begin{cases} \mbox{se }\frac{|x|}{\sqrt 2}<1, & \mbox{la serie converge} \\ \mbox{se }\frac{|x|}{\sqrt 2}>1, & \mbox{la serie diverge}\\
\mbox{se }\frac{|x|}{\sqrt 2}=1, & \mbox{il criterio della radice è inefficacie }
\end{cases}
\end{align*}
allora hai che la serie converge se
\begin{align*}
\frac{|x|}{\sqrt 2} <1\quad\Leftrightarrow\quad |x|<\sqrt 2\quad\Leftrightarrow\quad-\sqrt 2
la serie diverge se
\begin{align*}
\frac{|x|}{\sqrt 2} >1\quad\Leftrightarrow\quad |x|>\sqrt 2\quad\Leftrightarrow\quad x<-\sqrt 2\,\,\cup\,\, x>\sqrt2
\end{align*}
ora devi considerare i valori per cui il criterio che hai applicato risulta inefficacie, cioè $\frac{|x|}{\sqrt 2}=1, \Leftrightarrow x=\pm\sqrt2;$ dunque sostituendo ottieni:
se $x=-\sqrt2$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left(-\sqrt2\right)^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\left( \sqrt2\right)^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt {n }}\to\mbox{converge per Leibniz}
\end{align*}
se $x= \sqrt2$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left( \sqrt2\right)^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt {n }}\to\mbox{diverge}
\end{align*}
quindi in definitiva la serie converge per $ x\in [-\sqrt2,sqrt2)$
\begin{align*}
.... = \frac{|x|}{\sqrt 2} =\begin{cases} \mbox{se }\frac{|x|}{\sqrt 2}<1, & \mbox{la serie converge} \\ \mbox{se }\frac{|x|}{\sqrt 2}>1, & \mbox{la serie diverge}\\
\mbox{se }\frac{|x|}{\sqrt 2}=1, & \mbox{il criterio della radice è inefficacie }
\end{cases}
\end{align*}
allora hai che la serie converge se
\begin{align*}
\frac{|x|}{\sqrt 2} <1\quad\Leftrightarrow\quad |x|<\sqrt 2\quad\Leftrightarrow\quad-\sqrt 2
la serie diverge se
\begin{align*}
\frac{|x|}{\sqrt 2} >1\quad\Leftrightarrow\quad |x|>\sqrt 2\quad\Leftrightarrow\quad x<-\sqrt 2\,\,\cup\,\, x>\sqrt2
\end{align*}
ora devi considerare i valori per cui il criterio che hai applicato risulta inefficacie, cioè $\frac{|x|}{\sqrt 2}=1, \Leftrightarrow x=\pm\sqrt2;$ dunque sostituendo ottieni:
se $x=-\sqrt2$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left(-\sqrt2\right)^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\left( \sqrt2\right)^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt {n }}\to\mbox{converge per Leibniz}
\end{align*}
se $x= \sqrt2$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left( \sqrt2\right)^n}{\sqrt {n\cdot2^n}}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt {n }}\to\mbox{diverge}
\end{align*}
quindi in definitiva la serie converge per $ x\in [-\sqrt2,sqrt2)$
Grazie mille, ho capito! gentilissimo
... grazie anche a theras ...
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